Question

如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，BC=10cm，AD=8cm．点P从点B出发，在线段BC上以每秒3cm的速度向点C匀速运动，与此同时，垂直于AD的直线m从底边BC出发，以每秒2cm的速度沿DA方向匀速平移，分别交AB、AC、AD于E、F、H，当点P到达点C时，点P与直线m同时停止运动，设运动时间为t秒（t＞0）．

（1）当t=2时，连接DE、DF，求证：四边形AEDF为菱形；
（2）在整个运动过程中，所形成的△PEF的面积存在最大值，当△PEF的面积最大时，求线段BP的长；
（3）是否存在某一时刻t，使△PEF为直角三角形？若存在，请求出此时刻t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：相似形综合题

专题：几何综合题,压轴题,动点型

分析：（1）如答图1所示，利用菱形的定义证明；
（2）如答图2所示，首先求出△PEF的面积的表达式，然后利用二次函数的性质求解；
（3）如答图3所示，分三种情形，需要分类讨论，分别求解．

解答：（1）证明：当t=2时，DH=AH=4，则H为AD的中点，如答图1所示．
又∵EF⊥AD，
∴EF为AD的垂直平分线，
∴AE=DE，AF=DF．
∵AB=AC，AD⊥BC于点D，
∴AD⊥BC，∠B=∠C．
∴EF∥BC，
∴∠AEF=∠B，∠AFE=∠C，
∴∠AEF=∠AFE，
∴AE=AF，
∴AE=AF=DE=DF，即四边形AEDF为菱形．

（2）解：如答图2所示，由（1）知EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴

EF

BC

=

AH

AD

，即

EF

10

=

8-2t

8

，解得：EF=10-

5

2

t．
S_△PEF=

1

2

EF•DH=

1

2

（10-

5

2

t）•2t=-

5

2

t²+10t=-

5

2

（t-2）²+10（0＜t＜3），
∴当t=2秒时，S_△PEF存在最大值，最大值为10，此时BP=3t=6．

（3）解：存在．理由如下：
①若点E为直角顶点，如答图3①所示，
此时PE∥AD，PE=DH=2t，BP=3t．
∵PE∥AD，∴

PE

AD

=

BP

BD

，即

2t

8

=

3t

5

，此比例式不成立，故此种情形不存在；
②若点F为直角顶点，如答图3②所示，
此时PF∥AD，PF=DH=2t，BP=3t，CP=10-3t．
∵PF∥AD，∴

PF

AD

=

CP

CD

，即

2t

8

=

10-3t

5

，解得t=

40

17

；

③若点P为直角顶点，如答图3③所示．
过点E作EM⊥BC于点M，过点F作FN⊥BC于点N，则EM=FN=DH=2t，EM∥FN∥AD．
∵EM∥AD，∴

EM

AD

=

BM

BD

，即

2t

8

=

BM

5

，解得BM=

5

4

t，
∴PM=BP-BM=3t-

5

4

t=

7

4

t．
在Rt△EMP中，由勾股定理得：PE²=EM²+PM²=（2t）²+（

7

4

t）²=

113

16

t²．
∵FN∥AD，∴

FN

AD

=

CN

CD

，即

2t

8

=

CN

5

，解得CN=

5

4

t，
∴PN=BC-BP-CN=10-3t-

5

4

t=10-

17

4

t．
在Rt△FNP中，由勾股定理得：PF²=FN²+PN²=（2t）²+（10-

17

4

t）²=

353

16

t²-85t+100．
在Rt△PEF中，由勾股定理得：EF²=PE²+PF²，
即：（10-

5

2

t）²=（

113

16

t²）+（

353

16

t²-85t+100）
化简得：

183

8

t²-35t=0，
解得：t=

280

183

或t=0（舍去）
∴t=

280

183

．
综上所述，当t=

40

17

秒或t=

280

183

秒时，△PEF为直角三角形．

点评：本题是运动型综合题，涉及动点与动线两种运动类型．第（1）问考查了菱形的定义；第（2）问考查了相似三角形、图形面积及二次函数的极值；第（3）问考查了相似三角形、勾股定理、解方程等知识点，重点考查了分类讨论的数学思想．