Question

19．如图，四边形ABDC中，∠BAC+∠BDC=180°．
（1）如果AB=AC，求证：∠1=∠2；
（2）如果∠1=∠2，求证：AB=AC；
（3）在（1）的条件下，如果∠BAC=60°，求证：BD+CD=AD．

Answer 1

分析 （1）过点A作AE⊥BD于E，作AF⊥DC于F，先判定△ABE≌△ACF（AAS），再根据AE=AF，AE⊥BD，AF⊥DC，得出AD平分∠BDC即可；
（2）过点A作AE⊥BD于E，作AF⊥DC于F，先根据∠1=∠2，AE⊥BD，AF⊥DC，得出AE=AF，再判定△ABE≌△ACF（ASA），即可得出AB=AC；
（3）在AD上截取AG=BD，连接CG，先判定△BCD≌△ACG（SAS），得到CD=CG，再判定△DCG是等边三角形，得到DG=CD，进而得出BD+CD=AG+GD=AD．

解答 解：（1）如图1，过点A作AE⊥BD于E，作AF⊥DC于F，则∠AEB=∠F=90°，
∴四边形AEDF中，∠EAF+∠BDC=180°，
∵∠BAC+∠BDC=180°，
∴∠EAF=∠BAC，
∴∠BAE=∠CAF，
又∵AB=AC，
∴△ABE≌△ACF（AAS），
∴AE=AF，
又∵AE⊥BD，AF⊥DC，
∴AD平分∠BDC，
即∠1=∠2；

（2）如图1，过点A作AE⊥BD于E，作AF⊥DC于F，则∠AEB=∠F=90°，
∴四边形AEDF中，∠EAF+∠BDC=180°，
∵∠BAC+∠BDC=180°，
∴∠EAF=∠BAC，
∴∠BAE=∠CAF，
∵∠1=∠2，AE⊥BD，AF⊥DC，
∴AE=AF，
∴△ABE≌△ACF（ASA），
∴AB=AC；

（3）如图2，在AD上截取AG=BD，连接CG，
∵∠BAC=60°，AB=AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴BC=AC，∠BAC=∠ACB=60°，
∵∠BAC+∠BDC=180°，
∴∠BDC=120°，
∴由（1）可得，∠1=∠2=60°，
∴∠1=∠ACB，
∵AD与BC交于一点，
∴∠CAG=∠CBD，
∴△BCD≌△ACG（SAS），
∴CD=CG，∠ACG=∠BCD，
又∵∠ACG+∠BCG=60°，
∴∠BCD+∠BCG=60°，即∠DCG=60°，
∴△DCG是等边三角形，
∴DG=CD，
∴BD+CD=AG+GD=AD．

点评 本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质的运用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形和等边三角形，根据全等三角形的对应边相等进行推导．解题时注意：等边三角形的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件．