Question

如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx+3（a≠0）经过A（-1，0）、B（3，0）两点，抛物线与y轴交点为C，其顶点为D，连接BD，点P是线段BD上一个动点（不与B，D重合），过点P作y轴的垂线，垂足为E，连接BE．
（1）求抛物线的解析式，并写出顶点D的坐标；
（2）如果P点的坐标为（x，y），△PBE的面积为S，求S与x的函数关系式，写出自变量x的取值范围．

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点,待定系数法求二次函数解析式

专题：

分析：（1）本题需先根据抛物线y=ax²+bx+3（a≠0）经过A（-1，0）、B（3，0）两点，分别求出a、b的值，再代入抛物线y=ax²+bx+3即可求出它的解析式．
（2）根据B，D的坐标运用待定系数法求得直线BD的解析式，再根据三角形的面积公式以及y与x之间的函数关系式得到s与x之间的函数关系式．点P的横坐标即x的值位于点D和点B的横坐标之间．

解答：解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+3（a≠0）经过A（-1，0）、B（3，0）两点
∴把（-1，0）B（3，0）代入抛物线得：

0=a-b+3 0=9a+3b+3

，
解得

a=-1 b=2

，
∴抛物线解析式为：y=-x²+2x+3．
∴顶点D的坐标为（1，4）；

（2）设直线BD解析式为：y=kx+b（k≠0），把B、D两点坐标代入，
得

3k+b=0 k+b=4

，
解得k=-2，b=6，
直线BD解析式为y=-2x+6，
S=

1

2

PE•OE，
S=

1

2

PE•OE=

1

2

xy=

1

2

x（-2x+6）=-x²+3x，
∵顶点D的坐标为（1，4），B（3，0）
∴1＜x＜3，
∴S=-x²+3x（1＜x＜3）．

点评：本题考查了抛物线与x轴的交点．能够熟练运用待定系数法求得函数的解析式；能够根据函数图象求得函数的定义域．