Question

如图（a），两个不全等的等腰直角三角形OAB和OCD叠放在一起，并且有公共的直角顶点O．
（1）将图（a）中的△OAB绕点O顺时针旋转90°角，在图（b）中作出旋转后的△OAB（保留作图痕迹，不写作法，不证明）；
（2）在图（b）中，试探究线段AC与线段BD的关系，并说明理由；
（3）将图（a）中的△OAB绕点O顺时针旋转一个锐角，得到图（c），这时（2）中的结论是否仍成立？请作出判断并说明理由．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形,旋转的性质

专题：

分析：（1）△OAB绕点O顺时针旋转90°角应该在△COD的右边；
（2）的结论容易得到，AC=BD，AC与BD相交成90°的角；
（3）结论仍然成立，利用等腰直角三角形的性质可以得到全等条件证明△COA≌△DOB，然后利用全等三角形的性质可以证明结论仍然成立．

解答：解：（1）如图（a）所示：△A′OB′即为所求的三角形；

（2）数量关系：AC=BD，位置关系：AC⊥BD．
如图（b），连接AC、BD，延长CA交BD于点F；
∵△AOC与△BOD中，

AO=BO ∠AOC=∠BOD CO=DO

，
∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴∠ACO=∠BDO，AC=BD．
∵∠ACO+∠CAO=90°，∠CAO=∠DAF
∴∠BDO+∠DAF=90°，
∴AF⊥DF，即AC⊥BD；

（3）结论仍然成立．
理由：如图（c），延长CA交DO于点E，交BD于点G．
∵△AOC与△BOD中，

AO=BO ∠AOC=∠BOD CO=DO

，
∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴AC=BD，∠ACO=∠BDO
∵∠ECO+∠CEO=90°，∠DEG=∠CEO
∴∠GDE+∠DEG=90°，
∴∠DGE=90°，
∴AC⊥BD．

点评：本题考查了图形的旋转变化，学生要看清是顺时针还是逆时针旋转，然后画出图形，利用图形的性质通过证明三角形全等就可以解决问题．