Question

9．已知：抛物线y=x²+（2m-1）x+m²-1经过坐标原点，且当x＜0时，y随x的增大而减小．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，设点A是该抛物线上位于x轴下方的一个动点，过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点D．再作AB⊥x轴于点B．DC⊥x轴于点C．
①当BC=1时，直接写出矩形ABCD的周长；
②设动点A的坐标为（a，b），将矩形ABCD的周长L表示为a的函数并写出自变量的取值范围，判断周长是否存在最大值，如果存在，求出这个最大值，并求出此时点A的坐标，如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由题意知：抛物线过（0，0），所以将（0，0）代入y=x²+（2m-1）x+m²-1即可求得m的值，再由x＜0时，y随x的增大而减小，可知对称轴一定在y轴的右侧，进而得出m的取值范围；
（2）①由AD∥x轴，所以A与D关于抛物线的对称轴对称，从而得出B的横坐标，代入抛物线解析式即可求得B的纵坐标，从而得出AB的长度；
②把A（a，b）代入y=x²-3x，所以b=a²-3a，利用对称性可求得D的坐标为（3-a，a²-3a），所以AD=|3-2a|，然后分以下两种情况讨论：0＜a≤$\frac{3}{2}$时和$\frac{3}{2}$＜a＜3时，分别求出L与a的关系式后，利用二次函数的性质即可求出L的最值．

解答 解：（1）把（0，0）代入y=x²+（2m-1）x+m²-1，
∴0=m²-1，
∴m=±1，
∵当x＜0时，y随x的增大而减小，
∴对称轴x=$-\frac{2m-1}{2}$＞0，
∴m＜$\frac{1}{2}$
∴m=-1，
∴抛物线的解析式为y=x²-3x；

（2）①∵AD∥x轴，
∴A与D关于抛物线的对称轴对称，
∵抛物线的对称轴为x=$\frac{3}{2}$，BC=1
∴点B的横坐标为1，
∴把x=1代入y=x²-3x，
∴y=-2，
∴AB=2，
∴矩形ABCD的周长为：2×2+2×1=6；

（3）把A（a，b）代入y=x²-3x，
∴b=a²-3a，
∴A（a，a²-3a），
令y=0代入y=x²-3x，
∴x=0或x=3，
∴由题意知：0＜a＜3，
∴AB=3a-a²，
由①可知：A与D关于x=$\frac{3}{2}$对称，
∴D的坐标为（3-a，a²-3a），
∴AD=|3-a-a|=|3-2a|，
当0＜a≤$\frac{3}{2}$时，
∴AD=3-2a，
∴L=2（AB+AD）=-2a²+2a+6=-2（a-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{13}{2}$，
当a=$\frac{1}{2}$时，L的最大值为$\frac{13}{2}$，
此时A的坐标为（$\frac{1}{2}$，-$\frac{5}{4}$），
当$\frac{3}{2}$＜a＜3时，
∴AD=2a-3，
∴L=2（AB+AD）=-2（a-$\frac{5}{2}$）²+$\frac{13}{2}$，
当a=$\frac{5}{2}$时，L的最大值为$\frac{13}{2}$，
此时A的坐标为（$\frac{5}{2}$，-$\frac{5}{4}$），
综上所述，当A的坐标为（$\frac{1}{2}$，-$\frac{5}{4}$）或（$\frac{5}{2}$，-$\frac{5}{4}$），L的最大值为$\frac{13}{2}$．

点评 本题考查二次函数的综合问题，涉及待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象的性质，二次函数的最值等知识，内容较为综合，需要学生充分理解二次函数的性质才能进行解答．