Question

17．如图，Rt△ABC中，∠B=30°，∠ACB=90°，CD⊥AB交AB于D，以CD为较短的直角边向△CDB的同侧作Rt△DEC，满足∠E=30°，∠DCE=90°，再用同样的方法作Rt△FGC，∠FCG=90°，继续用同样的方法作Rt△HIC，∠HCI=90°．若AC=a，求CI的长．

Answer 1

分析 本题介绍两种方法：
①在Rt△ACD中，利用30度角的性质和勾股定理求CD的长；同理在Rt△ECD中求FC的长，在Rt△FCG中求CH的长；最后在Rt△HCI中，利用30度角的性质和勾股定理求CI的长．
②在Rt△DCA中，利用30°角的余弦求CD，同理依次求CF、CH、CP，最后利用正弦求CI的长．

解答 解：解法一：在Rt△ACB中，∠B=30°，∠ACB=90°，
∴∠A=90°-30°=60°，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC=90°，
∴∠ACD=30°，
在Rt△ACD中，AC=a，
∴AD=$\frac{1}{2}$a，
由勾股定理得：CD=$\sqrt{{a}^{2}-（\frac{1}{2}a）^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}a}{2}$，
同理得：FC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\frac{\sqrt{3}a}{2}$=$\frac{3a}{4}$，CH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\frac{3a}{4}$=$\frac{3\sqrt{3}a}{8}$，
在Rt△HCI中，∠I=30°，
∴HI=2HC=$\frac{3\sqrt{3}a}{4}$，
由勾股定理得：CI=$\sqrt{（\frac{3\sqrt{3}a}{4}）^{2}-（\frac{3\sqrt{3}a}{8}）^{2}}$=$\frac{9a}{8}$，
解法二：∠DCA=∠B=30°，
在Rt△DCA中，cos30°=$\frac{CD}{AC}$，
∴CD=AC•cos30°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，
在Rt△CDF中，cos30°=$\frac{CF}{CD}$，
CF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$a=$\frac{3}{4}$a，
同理得：CH=cos30°CF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\frac{3}{4}$a=$\frac{3\sqrt{3}}{8}$a，
在Rt△HCI中，∠HIC=30°，
tan30°=$\frac{CH}{CI}$，
CI=$\frac{3\sqrt{3}}{8}$a÷$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{9}{8}$a；
答：CI的长为$\frac{9a}{8}$．

点评 本题考查了勾股定理和直角三角形含30°角的性质，在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，这一性质经常运用，必须熟练掌握；同时在运用勾股定理和直角三角形含30°角的性质时，一定要书写好所在的直角三角形，尤其是此题多次运用了这一性质，此题也可以利用三角函数解决．