Question

9．如图所示，以△ABC的边AB为直径作⊙O，点C在⊙O上，BD是⊙O的弦，∠A=∠CBD，过点C作CF⊥AB于点F，交BD于点G，过C作CE∥BD交AB的延长线于点E．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）求证：CG=BG；
（3）若∠DBA=30°，CG=4，求BE的长．

Answer 1

分析 （1）连接OC，先证得$\widehat{BC}$=$\widehat{DC}$，根据垂径定理得到OC⊥BD，根据CE∥BD推出OC⊥CE，即可得到结论；
（2）根据圆周角定理得出∠ACB=90°，然后根据同角的余角相等得出∠A=∠BCF，即可证得∠BCF=∠CBD，根据同角对等边即可证得结论；
（3）连接AD，根据圆周角定理得出∠ADB=90°，即可求得∠BAD=60°，根据圆周角定理得出∠DAC=∠BAC=30°，解直角三角形求得$\frac{BC}{AC}$=tan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，然后根据三角形相似和等腰三角形的判定即可求得BE的值．

解答 （1）证明：连接OC，
∵∠A=∠CBD，
∴$\widehat{BC}$=$\widehat{DC}$，
∴OC⊥BD，
∵CE∥BD，
∴OC⊥CE，
∴CE是⊙O的切线；

（2）证明：∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∵CF⊥AB，
∴∠ACB=∠CFB=90°，
∵∠ABC=∠CBF，
∴∠A=∠BCF，
∵∠A=∠CBD，
∴∠BCF=∠CBD，
∴CG=BG；

（3）解：连接AD，
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
∵∠DBA=30°，
∴∠BAD=60°，
∵$\widehat{BC}$=$\widehat{DC}$，
∴∠DAC=∠BAC=$\frac{1}{2}$∠BAD=30°，
∴$\frac{BC}{AC}$=tan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∵CE∥BD，
∴∠E=∠DBA=30°，
∴AC=CE，
∴$\frac{BC}{CE}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∵∠A=∠BCF=∠CBD=30°，
∴∠BCE=30°，
∴BE=BC，
∴△CGB∽△CBE，
∴$\frac{CG}{BC}$=$\frac{BC}{CE}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∵CG=4，
∴BC=4$\sqrt{3}$，
∴BE=4$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了圆周角定理，垂径定理，切线的判定和性质以及三角形相似的判定和性质，作出辅助线构建直角三角形是解题的关键．