Question

在平面直角坐标系中，已知A（-4，0），B（1，0），且以AB为直径的圆交y轴的正半轴于点C（0，2），过点C作圆的切线交x轴于点D．
（1）求过A，B，C三点的抛物线的解析式；
（2）求点D的坐标；
（3）设平行于x轴的直线交抛物线于E，F两点，问：是否存在以线段EF为直径的圆，恰好与x轴相切？若存在，求出该圆的半径；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）令二次函数y=ax²+bx+c，
则，
∴，
∴过A，B，C三点的抛物线的解析式为y=-x²-x+2．

（2）以AB为直径的圆的圆心坐标为O′（-，0），
∴O′C=，
OO′=；
∵CD为⊙O′切线
∴O′C⊥CD，
∴∠O′CO+∠OCD=90°，∠CO'O+∠O'CO=90°，
∴∠CO'O=∠DCO，
∴△O'CO∽△CDO，
∴=，即=，
∴OD=，
∴D坐标为（，0）．

（3）存在，
抛物线对称轴为x=-，
设满足条件的圆的半径为r，则E的坐标为（-+r，|r|）或F（--r，r），
而E点在抛物线y=-x²-x+2上，
∴r=-（-+r）²-（-+r）+2；
∴r₁=-1+，r₂=-1-（舍去）；
故以EF为直径的圆，恰好与x轴相切，该圆的半径为．
分析：（1）已知了抛物线过A，B，C三点，可根据三点的坐标用待定系数法求出抛物线的解析式．
（2）由于CD是圆的切线，设圆心为O′，可连接O′C，在直角三角形O′CD中科根据射影定理求出OD的长，即可得出D的坐标．
（3）可假设存在这样的点E、F，设以线段EF为直径的圆的半径为|r|，那么可用半径|r|表示出E，F两点的坐标，然后根据E，F在抛物线上，将E，F的坐标代入抛物线的解析式中，可得出关于|r|的方程，如果方程无解则说明不存在这样的E，F点，如果方程有解，可用得出的r的值求出E，F两点的坐标．
点评：本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、三角形相似、切线的性质等重要知识点，综合性强，考查学生数形结合的数学思想方法．