Question

1．如图，直线y=ax+b与x轴交于A，与y轴交于B，与双曲线y=$\frac{k}{x}$交于点C，D，OA=2OB=2．△OAB与△OAD的面积相等．
（Ⅰ）求直线CD和双曲线的解析式．
（Ⅱ）根据图象直接写出不等式ax+b＜$\frac{k}{x}$的解集．

Answer 1

分析 （1）根据OA=2OB=2，得出A（2，0），B（0，1），运用待定系数法即可得到直线CD的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+1，再根据△OAB与△OAD的面积相等，可得D（4，-1），即可得到双曲线的解析式．
（2）求得C（-2，2），D（4，-1），进而得到不等式ax+b＜$\frac{k}{x}$的解集为-2＜x＜0或x＞4．

解答 解：（1）∵OA=2OB=2，
∴A（2，0），B（0，1），
把A（2，0），B（0，1）代入直线y=ax+b，可得
$\left\{\begin{array}{l}{0=2a+b}\\{b=1}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=1}\end{array}\right.$，
∴直线CD的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+1，
∵△OAB与△OAD的面积相等，
∴△OAB与△OAD的AO边上的高相等，
∵OB=1，
∴点D的纵坐标为-1，
在y=-$\frac{1}{2}$x+1中，令y=-1，则x=4，
即D（4，-1），
代入双曲线y=$\frac{k}{x}$，可得k=-4，
∴双曲线的解析式为y=-$\frac{4}{x}$．

（2）解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}x+1}\\{y=-\frac{4}{x}}\end{array}\right.$，可得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=4}\\{{y}_{1}=-1}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=-2}\\{{y}_{2}=2}\end{array}\right.$，
∴C（-2，2），
又∵D（4，-1），
∴不等式ax+b＜$\frac{k}{x}$的解集为-2＜x＜0或x＞4．

点评 此题考查的是反比例函数与一次函数交点问题，涉及到待定系数法求函数解析式，两函数交点坐标求法以及坐标与图形性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．