Question

如图（1），抛物线y=ax²-3ax+b经过A（-1，0），C（3，-2）两点，与y轴交于点D，与x轴交于另一点B．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若直线y=kx+1（k≠0）将四边形ABCD面积二等分，求k的值；
（3）如图（2），过点E（1，1）作EF⊥x轴于点F，将△AEF绕平面内某点P旋转180°得△MNQ（点M、N、Q分别与点A、E、F对应），使点M、N在抛物线上，求点N和点P的坐标？

Answer 1

解：（1）∵抛物线y=ax²-3ax+b经过A（-1，0），C（3，-2），
代入得：．
∴，
∴y=x²-x-2，
答：此抛物线的解析式为y=x²-x-2；

（2）y=x²-x-2=0，
∴x₁=-1，x₂=4，
∴B（4，0），
当x=0时，y=-2，
∴D（0，-2），
∵C（3，-2），
∴DC∥AB，
由勾股定理得：AD=BC=，
∴四边形ADCB是等腰梯形，
∵D（0，-2），C（3，-2），
∴取DC中点E，则E的坐标是（，-2），
过E作EF⊥AB于F，取EF的中点G，则G的坐标是（，-1），
则过G的直线（直线与AB和CD相交）都能把等腰梯形ABCD的面积二等份，
把G的坐标代入y=kx+1得：k=-，
即k=-．

（3）设Q（m，n），则M（m+2，n），N（m，n-1），
代入y=x²-x-2中，得，
解得，∴Q（1，-2），N（1，-3），
又Q的对应点为F（1，0），
∴QF的中点为旋转中心P，
即P（1，-1），点N和点M的坐标分别为：（1，-3），（3，-2）．
分析：（1）把A、C的坐标代入抛物线得到方程组，求出方程组的解即可
（2）求出B、D的坐标，根据勾股定理求出等腰梯形ADCB，取DC中点E，则E的坐标是（，-2），过E作EF⊥AB于F，取EF的中点G，则G的坐标是（，-1），则过G的直线（直线与AB和CD相交）都能把等腰梯形ABCD的面积二等份，把G的坐标代入y=kx+1即可求出答案；
（3）把x=1代入y=x²-x-2求出N的坐标，根据对称求出QF，即可求出P的坐标．
点评：本题主要考查对用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，勾股定理，中心对称，解二元一次方程组，二次函数图象上点的坐标特征等腰梯形的判定等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行计算是解此题的关键．