Question

已知∠AOB=30°，点P在∠AOB的内部，OP=6，P₁与P关于OB对称，P₂与P关于OA对称，则△P₁OP₂的周长为

18

；若OA上有一动点M，OB上有一动点N，则△PMN的最小周长为

6

．

Answer 1

分析：（1）根据轴对称的性质，结合等边三角形的判定求解；
（2）设点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，当点M、N在CD上时，△PMN的周长最小．

解答：解：（1）∵P为∠AOB内部一点，点P关于OA、OB的对称点分别为P₁、P₂，
∴OP=OP₁=OP₂=6，且∠P₁OP₂=2∠AOB=60°，
∴故△OP₁P₂是等边三角形．
∴△P₁OP₂的周长=3×6=18；
（2）分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OP、OC、OD、PM、PN．
∵点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，
∴PM=CM，OP=OC，∠COA=∠POA；
∵点P关于OB的对称点为D，
∴PN=DN，OP=OD，∠DOB=∠POB，
∴OC=OD=OP=6，∠COD=∠COA+∠POA+∠POB+∠DOB=2∠POA+2∠POB=2∠AOB=60°，
∴△COD是等边三角形，
∴CD=OC=OD=6．
∴△PMN的周长的最小值=PM+MN+PN=CM+MN+DN≥CD=6．
故答案为：18；6．

点评：此题考查了轴对称的性质，同时考查轴对称--最短路线问题，并综合运用了等边三角形的知识．注意掌握对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等．