Question

4、如图，正方形ABCD内有两条相交线段MN，EF，M，N，E，F分别在边AB，CD，AD，BC上．小明认为：若MN=EF，则MN⊥EF；小亮认为：若MN⊥EF，则MN=EF．你认为（　　）

A、仅小明对

B、仅小亮对

C、两人都对

D、两人都不对

Answer 1

分析：若MN=EF，先构造出以MN与EF为斜边的直角三角形，然后证明两直角三角形全等，然后根据全等三角形的对应角相等，结合图象可以证明出EF与MN垂直；
若MN⊥EF，则MN=EF，分别把MN和EF平移，然后根据三角函数即可得出结论．

解答：解：①若MN=EF，则必有MN⊥EF，这句话是正确的．
如图，∵EF=MN，MH=EG，
∴△MHN≌△EGF，
∴∠EFG=∠MNH，
又∵∠EFG=∠ELM，
∴∠NMH+∠MNH=∠NMH+∠EFG=∠NMH+∠ELM=90°，
∴∠MOL=90°，
即MN⊥EF．
②若MN⊥EF，则MN=EF这句话是对的；
分别把MN和EF平移，如图，
∠AMN=∠AGD=∠BFE=∠DHC，
MN=GD=AD÷sin∠AGD，
EF=HC=CD÷sin∠DHC，
因此MN=EF．
故选C．

点评：解答本题要充分里利用正方形的特殊性质．注意在正方形中的特殊三角形的应用，本题如图所示起到关键的作用，没有图象的限制，则第一种情况不一定正确．