Question

如图，已知：ABCD是正方形，E是CF上的一点，若DBEF是菱形，则∠EBC等于

1. A.
   15°
2. B.
   22.5°
3. C.
   30°
4. D.
   25°

Answer 1

A
分析：过D作DG垂直于CF，垂足为G，由正方形的性质可得出正方形的四条边相等，且四个角为直角，三角形BCD为等腰直角三角形，可得出∠BDC与∠DBC都为45°，设正方形的边长为1，根据勾股定理求出BD的长为，即菱形的四条边为，由DG与FC垂直，且BD与EF平行，可得BD垂直于DG，进而得到∠CDG为45°，即三角形DCG为等腰直角三角形，由DC的长为1，可求出DG为，在直角三角形DFG中，由DG为DF的一半，得到∠F为30°，再根据菱形的对角相等，可得∠DBE为30°，由∠EBC=∠DBC-∠DBE求出度数即可．
解答：解：过D作DG⊥CF，垂足为G，如图所示：
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠CBD=∠CDB=45°，∠BCD=90°，
设正方形ABCD的边长为1，即AB=BC=CD=AD=1，
∴根据勾股定理得：BD==，
∵四边形BEFD为菱形，
∴BE=EF=DF=BD=，
又BD∥EF，DG⊥FC，
∴BD⊥DG，即∠BDG=90°，
∴∠CDG=∠BDG-∠BDC=90°-45°=45°，又∠DGC=90°，
∴△DCG为等腰直角三角形，又DC=1，
∴DG=DCsin45°=，又DF=，
在Rt△DFG中，由DG=DF，
∴∠F=30°，
∴∠DBE=30°，
则∠EBC=∠DBC-∠DBE=45°-30°=15°．
故选A
点评：此题考查了正方形的性质，菱形的性质，等腰直角三角形的性质以及直角三角形的性质，根据题意作出辅助线DG是本题的突破点，熟练掌握图形的性质是解本题的关键．