Question

附加题，如图，在△ABC中，∠C=2∠B．
（1）AD是△ABC的角平分线，求证：AB=AC+CD．
（2）若AD是△ABC的外角平分线交BC的延长线于D，其它条件不变，线段AB，AC，CD之间有什么确定的数量关系？画图并证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）在AB上取一点E，使得AE=AC，连接DE，证明△ACD≌△AED，得出CD=DE，及证明△EDB为等腰三角形，得出DE=BE，得出AB=AC+CD；
（2）在AB的延长线AF上取一点E，使得AE=AC，连接DE．证明△ACD≌△AED，DE=BE，BE=CD，得出结论．

解答：（1）证明：在AB上取一点E，使得AE=AC，连接DE
在△ACD和△AED中

AC=AE ∠CAD=∠EAD AD=AD

．
∴△ACD≌△AED
∴∠C=∠AED，CD=DE
又∵∠C=2∠B
∴∠AED=2∠B
又∵∠AED=∠B+∠EDB
∴DE=BE
∴BE=CD
∴AB=AC+CD

（2）AB=CD-AC
证明：在BA的延长线AF上取一点E，使得AE=AC，连接DE
在△ACD和△AED中
∵

AC=AE ∠CAD=∠EAD AD=AD

．
∴△ACD≌△AED
∴∠ACD=∠AED，CD=DE
∴∠ACB=∠FED
又∵∠ACB=2∠B
∴∠FAD=2∠B
又∵∠FED=∠B+∠EDB
∴∠EDB=∠B
∴DE=BE
∴BE=CD
∴AB=CD-AC．

点评：本题考查了全等三角形的判定、三角形的角平分线的性质及三角形内外角的关系；正确作出辅助线是解答本题的关键，证明线段的和差问题往往是通过全等来证明的．