Question

已知x、y是实数且满足x²+xy+y²-2=0，设M=x²-xy+y²，则M的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：把原式的xy变为2xy-xy，根据完全平方公式特点化简，然后由完全平方式恒大于等于0，得到xy的范围；再把原式中的xy变为-2xy+3xy，同理得到xy的另一个范围，求出两范围的公共部分，然后利用不等式的基本性质求出2-2xy的范围，最后利用已知x²+xy+y²-2=0表示出x²+y²，代入到M中得到M=2-2xy，2-2xy的范围即为M的范围．

解答：解：由x²+xy+y²-2=0得：x²+2xy+y²-2-xy=0，
即（x+y）²=2+xy≥0，所以xy≥-2；
由x²+xy+y²-2=0得：x²-2xy+y²-2+3xy=0，
即（x-y）²=2-3xy≥0，所以xy≤

2

3

，
∴-2≤xy≤

2

3

，
∴不等式两边同时乘以-2得：
（-2）×（-2）≥-2xy≥

2

3

×（-2），即-

4

3

≤-2xy≤4，
两边同时加上2得：-

4

3

+2≤2-2xy≤4+2，即

2

3

≤2-2xy≤6，
∵x²+xy+y²-2=0，∴x²+y²=2-xy，
∴M=x²-xy+y²=2-2xy，
则M的取值范围是

2

3

≤M≤6．
故答案为：

2

3

≤M≤6

点评：此题考查了完全平方公式，以及不等式的基本性质，解题时技巧性比较强，对已知的式子进行了三次恒等变形，前两次利用拆项法拼凑完全平方式，最后一次变形后整体代入确定出M关于xy的式子，从而求出M的范围．要求学生熟练掌握完全平方公式的结构特点：两数的平方和加上或减去它们乘积的2倍等于两数和或差的平方．