Question

如图，二次函数y=2x²-2的图象与x轴交于A、B两点（A在B的左边），与y轴交于点c，直线x=a（a＞1）与x轴交于点D，
（1）在直线x=a上有一点P（P在第一象限），使得以P、D、B为顶点的三角形与B、C、O（原点）为顶点的三角相似，求点P坐标（用含a的代数式表示）
（2）在（1）成立的条件下，试问抛物线y=2x²-2上是否存在一点Q，使四边形ABPQ为平行四边形？若存在这样的Q，请求出a的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）令y=0得2x²-2=0
解得x=±1，
点A为（-1，0），点B为（1，0），
令x=0，得y=-2，
所以点C为（0，-2），则CO=2，BO=1，
当△PDB∽△COB时，
有=，
∵BD=a-1，OC=2，OB=1，
∴=，
∴PD=2（a-1），
∴P₁（a，2a-2）．
当△PDB∽△BOC时，有=，
∵OB=1，BD=a-1，OC=2，
∴=，
PD=，
∴P₂（a，-）．

（2）假设抛物线y=2x²-2上存在一点Q，使得四边形ABPQ为平行四边形，
∴PQ=AB=2，点Q的横坐标为a-2．
当点P₁为（a，2a-2）时，
点Q₁的坐标是（a-2，2a-2），
∵点Q₁在抛物线y=2x²-2图象上，
∴2a-2=2（a-2）²-2，
即a-1=a²-4a+4-1，
a²-5a+4=0，
解得：a₁=1（舍去），a₂=4．
当点P₂为（a，-）时，
点Q₂的坐标是（a-2，-），
∵Q₂在抛物线y=2x²-2图象上，
∴-=2（a-2）²-2，
即a-1=4（a-2）²-4
a-1=4a²-16a+16-4，
4a²-17a+13=0，
（a-1）（4a-13）=0，
∴a₃=1（舍去），a₄=，
∴a的值为4、．
分析：（1）令二次函数解析式中x=0，可得出C点坐标，令y=0，可得出A、B的坐标，进而得出OB，CO的长，由于∠PDB=∠BOC=90°，因此本题可分两种情况进行讨论：
①当△PDB∽△COB时；②当△PDB∽△BOC时；可根据不同的相似三角形得出的不同的对应线段成比例来求出DP的长，即可表示出P点的坐标．
（2）若四边形ABPQ为平行四边形，那么Q点的坐标可有P点坐标向左平移AB个单位来得出，然后将Q点坐标代入抛物线的解析式中即可求得a的值．
点评：此题主要考查了二次函数的综合题以及相似三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质等知识．利用分类讨论思想得出P点坐标是解题关键．