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如图1,若顺次连接四边形ABCD各边中点所得四边形EFGH是菱形,则称原四边形ABCD为“中母菱形”.定义:若四边形的对角线相等,那么这个四边形是中母菱形.
(1)请写一个你学过的特殊四边形中是中母菱形的图形的名称.
(2)如图有等边三角形ABC中,D、E分别是AB、AC的中点,连接DE,猜想图中哪个四边形是中母菱形,并加以证明.
(3)在等边三角形ABC中,若D、E不是AB、AC的中点,且BD=AE,探究满足上述条件的图形中是否在中母菱形,并证明你的结论.
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分析:(1)从学过的特殊图形中,寻找对角线相等的图形(正方形、矩形、等腰梯形等);
(2)欲证明四边形DBCE是中母菱形,只需证明该四边形的对角线DC=BE即可;
(3)通过全等三角形的判定定理SAS证得△ABE≌△BCD,然后根据全等三角形的对应边相等的性质推知四边形DBCE的对角线BE=DC,所以四边形DBCE是中母菱形.
解答:解:(1)矩形;等腰梯形.
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(2)四边形DBCE是中母菱形.
证明:连接DC、BE.
∵D、E分别是AB、AC的中点,
∴DE平行BC,DE=
1
2
BC,
∴四边形DBCE是梯形.
又∵AB=AC,D、E分别是AB、AC的中点,
∴DB=EC,
∴梯形DBCE是等腰梯形.
∴DC=BE,
∴四边形DBCE是中母菱形.

(3)四边形DBCE是中母菱形.
证明:连接DC、BE.
∵BD=AE,∠BAE=∠CBD,AB=BC
∴△ABE≌△BCD
∴BE=DC
∴四边形DBEC是中母菱形.
点评:本题主要考查了全等三角形的判定与性质、菱形是性质、等边三角形的性质以及三角形中位线定理.解答本题的主要依据是中母菱形的定义的定义:若四边形的对角线相等,那么这个四边形是中母菱形.
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24、已知四边形ABCD,以此四边形的四条边为边向外分别作正方形,顺次连接这四个正方形的对角线交点E,F,G,H,得到一个新四边形EFGH.
(1)如图1,若四边形ABCD是正方形,则四边形EFGH
(填“是”或“不是”)正方形;
(2)如图2,若四边形ABCD是矩形,则(1)中的结论
(填“能”或“不能”)成立;
(3)如图3,若四边形ABCD是平行四边形,其他条件不变,判断(1)中的结论是否还成立?若成立,证明你的结论,若不成立,请说明你的理由.

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阅读下面资料:
小明遇到这样一个问题:如图1,对面积为a的△ABC逐次进行以下操作:分别延长AB、BC、CA至A1、B1、C1,使得A1B=2AB,B1C=2BC,C1A=2CA,顺次连接A1、B1、C1,得到△A1B1C1,记其面积为S1,求S1的值.
小明是这样思考和解决这个问题的:如图2,连接A1C、B1A、C1B,因为A1B=2AB,B1C=2BC,C1A=2CA,根据等高两三角形的面积比等于底之比,所以SA1BC=SB1CA=SC1AB=2S△ABC=2a,由此继续推理,从而解决了这个问题.

(1)直接写出S1=
19a
19a
(用含字母a的式子表示).
请参考小明同学思考问题的方法,解决下列问题:
(2)如图3,P为△ABC内一点,连接AP、BP、CP并延长分别交边BC、AC、AB于点D、E、F,则把△ABC分成六个小三角形,其中四个小三角形面积已在图上标明,求△ABC的面积.
(3)如图4,若点P为△ABC的边AB上的中线CF的中点,求S△APE与S△BPF的比值.

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(1)如图1,若四边形ABCD是正方形,则四边形EFGH______(填“是”或“不是”)正方形;
(2)如图2,若四边形ABCD是矩形,则(1)中的结论______(填“能”或“不能”)成立;
(3)如图3,若四边形ABCD是平行四边形,其他条件不变,判断(1)中的结论是否还成立?若成立,证明你的结论,若不成立,请说明你的理由.

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(2)如图2,若四边形ABCD是矩形,则(1)中的结论______(填“能”或“不能”)成立;
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