Question

如图，在直角坐标系中，直线AB经点P（3，4），与坐标轴正半轴相交于A，B两点，当△AOB的面积最小时，△AOB的内切圆的半径是

1. A.
   2
2. B.
   3.5
3. C.
   
4. D.
   4

Answer 1

A
分析：设直线AB的解析式是y=kx+b，把P（3，4）代入求出直线AB的解析式是y=kx+4-3k，求出OA=4-3k，OB=，求出△AOB的面积是•OB•OA=12-=12-（9k+），根据-9k-≥2=24和当且仅当-9k=-时，取等号求出k=-，求出OA=4-3k=8，OB==6，设三角形AOB的内切圆的半径是R，由三角形面积公式得：×6×8=×6R+×8R+×10R，求出即可．
解答：设直线AB的解析式是y=kx+b，
把P（3，4）代入得：4=3k+b，
b=4-3k，
即直线AB的解析式是y=kx+4-3k，
当x=0时，y=4-3k，
当y=0时，x=，
即A（0，4-3k），B（，0），
△AOB的面积是•OB•OA=••（4-3k）=12-=12-（9k+），
∵要使△AOB的面积最小，
∴必须最大，
∵k＜0，
∴-k＞0，
∵-9k-≥2=2×12=24，
当且仅当-9k=-时，取等号，解得：k=±，
∵k＜0，
∴k=-，
即OA=4-3k=8，OB==6，
根据勾股定理得：AB=10，
设三角形AOB的内切圆的半径是R，
由三角形面积公式得：×6×8=×6R+×8R+×10R，
R=2，
故选A．
点评：本题考查了勾股定理，取最大值，三角形的面积，三角形的内切圆等知识点的应用，关键是求OA和OB的值，本题比较好，但是有一定的难度．