Question

9．为了维护海洋权益，新组建的国家海洋局加大了在南海的巡逻力度，一天，我两艘海监船刚好在我某岛东西海岸线上的A、B两处巡逻，同时发现一艘不明国籍的船只停在C处海域．如图所示，AB=60（$\sqrt{6}+\sqrt{2}$）海里，在B处测得C在北偏东45°的方向上，A处测得C在北偏西30°的方向上，在海岸线AB上有一灯塔D，测得AD=120（$\sqrt{6}-\sqrt{2}$）海里．
（1）分别求出A与C及B与C的距离AC、BC（结果保留根号）
（2）已知在灯塔D周围100海里范围内有暗礁群，我在A处海监船沿AC前往C处盘查，图中有无触礁的危险？
（参考数据：$\sqrt{2}$=1.41，$\sqrt{3}$=1.73，$\sqrt{6}$=2.45）

Answer 1

分析 （1）如图所示，过点C作CE⊥AB于点E，可求得∠CBD=45°，∠CAD=60°，设CE=x，在Rt△CBE与Rt△CAE中，分别表示出BE、AE的长度，然后根据AB=60（$\sqrt{6}+\sqrt{2}$）海里，代入BE、AE的式子，求出x的值，继而可求出AC、BC的长度；
（2）如图所示，过点D作DF⊥AC于点F，在△ADF中，根据AD的值，利用三角函数的知识求出DF的长度，然后与100比较，进行判断．

解答 解：（1）如图所示，过点C作CE⊥AB于点E，
可得∠CBD=45°，∠CAD=60°，
设CE=x，
在Rt△CBE中，BE=CE=x，
在Rt△CAE中，AE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，
∵AB=60（$\sqrt{6}+\sqrt{2}$）海里，
∴x+$\frac{\sqrt{3}}{3}$x=60（$\sqrt{6}+\sqrt{2}$），
解得：x=60$\sqrt{6}$，
则AC=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x=120$\sqrt{2}$，
BC=$\sqrt{2}$x=120$\sqrt{3}$，
答：A与C的距离为120$\sqrt{2}$海里，B与C的距离为120$\sqrt{3}$海里；
（2）如图所示，过点D作DF⊥AC于点F，
在△ADF中，
∵AD=120（$\sqrt{6}-\sqrt{2}$），∠CAD=60°，
∴DF=ADsin60°=180$\sqrt{2}$-60$\sqrt{6}$≈106.8＞100，
故海监船沿AC前往C处盘查，无触礁的危险．

点评 本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据题目中所给方向角构造直角三角形，然后利用三角函数的知识求解，难度适中．