Question

9．如图，在△ABC中，AB＞AC，AD为∠BAC的平分线，AD的垂直平分线交BC的延长线于点F，交AB、AC于点E、G．
（1）求证：DF²=BF•CF；
（2）如果AC：AB=3：4，求CF：BF的值；
（3）如果BC=6，$\frac{AB}{AC}$=x，BF=y，求y与x之间的函数关系式，并写出它的定义域．

Answer 1

分析 （1）连接AF，先证明∠ACF=∠BAF，从而可证明△ACF∽△BAF，故此AF²=CF•BF，然后根据线段垂直平分线的性质可知：DF=AF；
（2）由相似三角形的性质可求得CF=$\frac{3}{4}$AF，BF=$\frac{4}{3}$AF，从而可求得CF：BF的值；
（3）由题意可知：BF=y，CF=y-6，从而可表示出AF的长，然后根据$\frac{AB}{AC}=\frac{BF}{AF}$=$\frac{CF}{AF}$可得到y与x的函数关系式．

解答 解：（1）连接AF．

∵EF是AD的垂直平分线，
∴AF=DF．
∴∠ADF=∠DAF．
∵AD为∠BAC的平分线，
∴∠BAD=∠CAD．
∴∠ADF+∠CAD=∠DAF+∠BAD．
∴∠BAF=∠ACF．
又∵∠BFA=∠AFC．
∴△ACF∽△BAF．
∴$\frac{AF}{BF}=\frac{CF}{AF}$．
∴AF²=CF•BF．
∴DF²=CF•BF．
（2）∵△ACF∽△BAF，
∴$\frac{AF}{BF}=\frac{CF}{AF}=\frac{AC}{AB}=\frac{3}{4}$．
∴BF=$\frac{4}{3}AF$，CF=$\frac{3}{4}$AF．
∴CF：BF=9：16．
（3）∵BC=6，BF=y，
∴CF=BF-BC=y-6．
∵△ACF∽△BAF，
∴$\frac{BF}{AF}=\frac{AF}{CF}=\frac{AB}{AC}$=x．
∴BF=x•AF，CF=$\frac{AF}{x}$．
∴CF：BF=$\frac{1}{{x}^{2}}$，即（y-6）：y=$\frac{1}{{x}^{2}}$．
整理得：y=$\frac{6{x}^{2}}{{x}^{2}-1}$．
∴y与x的函数关系式为y=$\frac{6{x}^{2}}{{x}^{2}-1}$．
∵AB＞AC，
∴x＞1．

点评 本题主要考查的是相似三角形的性质和判定、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，由相似三角形的性质求得CF、BF与AF的关系是解得关键．