Question

14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D是AC上一点，过点A作BD的垂线交BD的延长线于点E，且BD=2AE．求证：
（1）∠EAC=∠DBC；
（2）BD平分∠ABC．

Answer 1

分析 （1）由∠EAC+∠ADE=90°，∠DBC+∠BDC=90°，因为∠ADE=∠BDC，即可推出∠EAC=∠CBD．
（2）延长AE、BC交于点F，由△ACF≌△BCD（ASA），推出AF=BD，由BD=2AE，AE+EF=BD，推出AE=FE，即E为AF中点，再根据等腰三角形的性质即可证明．

解答 证明：（1）∵AE⊥BD，
∴∠AEB=90°=∠C，
∵∠EAC+∠ADE=90°，∠DBC+∠BDC=90°，
又∵∠ADE=∠BDC，
∴∠EAC=∠CBD．

（2）延长AE、BC交于点F，
在△ACF和△BCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FAC=∠DBC}\\{AC=BC}\\{∠ACF=∠BCD}\end{array}\right.$，
∴△ACF≌△BCD（ASA），
∴AF=BD．
∵BD=2AE，AE+EF=BD，
∴AE=FE，即E为AF中点
∵BE⊥AF，
∴BA=BF，
∴BE平分∠ABC．

点评 本题考查全等三角形的性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．