Question

（1）在图1中，∠A=90°，画出已知△ABC内接等腰直角△A′B′C′，使直角顶点A′在BC上、B′在AB上，C′在AC上（不写画法，保留作图痕迹）；
（2）如图2，如果∠A是直角，AB=4，AC=3，B′C′∥BC，求等腰直角△A′B′C′的底边B′C′的长．

Answer 1

分析：（1）首先作出∠A的角平分线，角平分线与边BC的交点为A'，然后过A′点分别作AB、AC的垂线，垂足为B′、C′点，故△A′B′C′为所求作的等腰直角三角形；
（2）作AD⊥BC，A′D′⊥B′C′，根据题意即可推出D′A′=DM，通过解直角三角形推出AD的长度，设出B′C′的长度为x，表示出D′A′的长度，即DM得长度，然后根据相似三角形的性质，即可求出x的长度，即B′C′得长度．

解答：解：（1）如图，△A′B′C′为所求作的三角形，

（2）作AD⊥BC，A′D′⊥B′C′，
∵B′C′∥BC，
∴AM⊥B′C′，
∴D′A′=DM，△ABC∽△AB′C′，
∴B′C′：BC=AM：AD，
∵∠A是直角，AB=4，AC=3，
∴AD=

12

5

，
∵等腰直角△A′B′C′，
∴A′D′=

1

2

B′C′，
∵B′C′∥BC，
∴A′D′=DM，
设B′C′=x，则：

B′C′

BC

=

AM

AD

，
∴

x

5

=

12 5 - 1 2 x

12 5

，
整理方程得：

x

5

=1-

5

24

x，
∴x=

120

49

，
∴B′C′=

120

49

．

点评：本题主要考查相似三角形的性质、直角三角形的性质、等腰直角三角形的性质，关键在于根据题意画出图形，通过求证△ABC∽△AB′C′，推出对应高的比等于相似比，即可推出B′C′的长度．