Question

如图，在直角坐标系中，已知A（0，1），B（

3

，0），以线段AB为边向上作菱形ABCD，且点D在y轴上．若菱形ABCD以每秒2个单位长度的速度沿射线AB滑行，直至顶点D落在x轴上时停止．设菱形落在x轴下方部分的面积为S，则表示S与滑行时间t的函数关系为

 

 （并写出t的取值范围）．

Answer 1

考点：动点问题的函数图象

专题：

分析：根据点A、B的坐标求出OA、OB，再利用勾股定理列式求出AB，再求出菱形的高，以及菱形沿y轴方向滑落的速度和x轴方向滑落的速度，再分①点A在x轴上方时，0≤t≤1，利用三角形的面积公式表示出s与t的函数关系式，②点A在x轴下方，点C在x轴上方时，1＜t≤2，利用梯形的面积公式表示出s与t的函数关系式，③点C在x轴下方时，2＜t≤3，利用菱形ABCD的面积减去x轴上方部分的三角形的面积，列式整理得到s与t的函数关系式，从而得解．

解答：解：∵A（0，1），B（

3

，0），
∴OA=1，OB=

3

，
∴AB=

OA2+OB2

=

12+( 3 )2

=2，
∵tan∠BAO=

OB

OA

=

3

1

=

3

，
∴∠BAO=60°，
∴菱形ABCD的高为2×

3

2

=

3

，
∵菱形ABCD以每秒2个单位长度的速度沿射线AB滑行，
∴菱形沿y轴方向滑落的速度为1，
沿x轴方向滑落的速度为

3

．
①点A在x轴上方时，0≤t≤1，落在x轴下方部分是三角形，
面积S=

1

2

•2t•

3

t=

3

t²，
②点A在x轴下方，点C在x轴上方时，1＜t≤2，落在x轴下方部分是梯形，
面积S=

1

2

[t+（t-1）•1]×

3

=

3

t-

3

2

，
③点C在x轴下方时，2＜t≤3，x轴下方部分为菱形的面积减去x轴上方部分的三角形的面积，
S=2×

3

-

1

2

（6-2t）•

3

2

（6-2t）=2

3

-

3

（3-t）²，
综上所述，S与滑行时间t的函数关系为：S=

3 t2(0≤t≤1) 3 t- 3 2 (1＜t≤2) 2 3 - 3 (3-t)2(2＜t≤3)

．
故答案为S=

3 t2(0≤t≤1) 3 t- 3 2 (1＜t≤2) 2 3 - 3 (3-t)2(2＜t≤3)

．

点评：本题考查了动点问题的函数图象，主要利用了菱形的性质，解直角三角形，分三段得到x轴下方部分的图形并求出相应的函数关系式是解题的关键．