Question

20．已知，如图，正方形ABCD的边长为12，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在正方形ABCD的边AB，CD，DA上，AH=4，连接CF．
（1）当DG=4时，求∠GHE的度数及△FCG的面积；
（2）设DG=x，用含x的代数式表示△FCG的面积；
（3）判断△FCG的面积能否等于4，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）由于四边形ABCD为正方形，四边形HEFG为菱形，那么∠D=∠A=90°，HG=HE，而AH=DG=2，易证△AHE≌△DGH，从而有∠DHG=∠HEA，等量代换可得∠AHE+∠DHG=90°，易证四边形HEFG为正方形；再证明△AHE≌△MFG即可解决问题；
（2）欲求△FCG的面积，由已知得CG的长易求，只需求出GC边的高即可；
（3）不能．如果24-2x=4，x=10，此时DG=10，GH=HE=$\sqrt{1{0}^{2}+{8}^{2}}$=$\sqrt{164}$，易知AE=$\sqrt{E{H}^{2}-A{H}^{2}}$=$\sqrt{164-16}$=$\sqrt{148}$＞12，推出点E不在正方形的边AB上，不合题意；

解答 解：（1）在△HDG和△AEH中，
∵四边形ABCD是正方形，∴∠D=∠A=90°，
∵四边形EFGH是菱形，
∴HG=HE，
∵DG=AH=4，
在Rt△HDG和Rt△AEH中，
$\left\{\begin{array}{l}{HG=HE}\\{DG=AH}\end{array}\right.$，
∴Rt△HDG≌Rt△AEH，
∴∠DHG=∠AEH，AE=HD=8，
∴∠DHG+∠AHE=90°
∴∠GHE=90°，
过F作FM⊥CD，垂足为M，连接GE
∵CD∥AB，
∴∠AEG=∠MGE，
∵GF∥HE，
∴∠HEG=∠FGE，
∴∠AEH=∠FGM，
在Rt△AHE和Rt△GFM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠M=90°}\\{∠AEH=∠FGM}\\{HE=FG}\end{array}\right.$，
∴Rt△AHE≌Rt△MFG，
∴MF=AH=4，GM=AE=8，
∴S_△FCG=$\frac{1}{2}$•CG•FM=$\frac{1}{2}$×8×4=16．

（2）由（1）可知，Rt△AHE≌Rt△MFG，
∴FM=AH=4，
∵GC=12-x，
∴S_△CFG=$\frac{1}{2}$•CG•FM=24-2x   

（3）不能．
理由：如果24-2x=4，x=10，
此时DG=10，GH=HE=$\sqrt{1{0}^{2}+{8}^{2}}$=$\sqrt{164}$，
易知AE=$\sqrt{E{H}^{2}-A{H}^{2}}$=$\sqrt{164-16}$=$\sqrt{148}$＞12，
∴点E不在正方形的边AB上，不合题意，
∴△GCF的面积不可能为4．

点评 本题考查了正方形的性质、菱形的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．