Question

如图，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的顶点为A（-1，-1），与x轴的一个交点为G（1，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接OA，过点A作AB⊥OA，交x轴于点C，交抛物线于点B．求直线AC的解析式及B点坐标；
（3）点Q在直线AB下方的抛物线上，当△QAB的面积最大时，求点Q的坐标．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：压轴题

分析：（1）设顶点式解析式y=a（x+1）²-1，然后把点G的坐标代入求解即可；
（2）根据点A的坐标求出∠AOC=45°，然后判断出△ACO是等腰直角三角形，再求出CO，然后写出点C的坐标，再利用待定系数法求一次函数解析式求出直线AC的解析式，然后与抛物线解析式联立求解即可得到点B的坐标；
（3）设过点Q∥y轴的直线与AB相交于点P，表示出PQ，再根据三角形的面积公式列式整理，然后利用二次函数的最值问题求解得到点Q的横坐标，再代入抛物线解析式求出点Q的纵坐标，从而得解．

解答：解：（1）设顶点式解析式y=a（x+1）²-1，
将点G（1，0）代入得，a（1+1）²-1=0，
解得a=

1

4

，
所以，y=

1

4

（x+1）²-1=

1

4

x²+

1

2

x-

3

4

；

（2）∵A（-1，-1），
∴∠AOC=45°，
∵AB⊥OA，
∴△ACO是等腰直角三角形，
∴CO=1×2=2，
∴点C的坐标为（-2，0），
设直线AC的解析式为y=kx+b，
则

-k+b=-1 -2k+b=0

，
解得

k=-1 b=-2

，
所以，直线AC的解析式为y=-x-2，
联立

y=-x-2 y= 1 4 x2+ 1 2 x- 3 4

，
解得

x1=-1 y1=-1

，

x2=-5 y2=-7

，
所以，点B的坐标为（-5，-7）；

（3）设过点Q∥y轴的直线与AB相交于点P，
则PQ=（-x-2）-（

1

4

x²+

1

2

x-

3

4

）=-

1

4

x²-

3

2

x-

5

4

=-

1

4

（x+3）²+1，
∵△QAB的面积=

1

2

PQ•（-1+5）=2PQ=-

1

2

（x+3）²+2，
∴当x=-3时，△QAB的面积最大，
此时，y=

1

4

（-3+1）²-1=0，
点Q的坐标为（-3，0）．

点评：本题是二次函数综合题型，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，等腰直角三角形的判定与性质，联立两函数解析式求交点坐标的方法，三角形的面积，二次函数的最值问题，（1）利用顶点式解析式求解更简便，（3）把三角形的面积分成两个部分表示是解题的关键．