Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是角平分线，点O在AB上，以点O为圆心，OB为半径的圆经过点D，交BC于点E．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若OB=10，CD=8，求BE的长．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：连接OD，

∵BD为∠ABC平分线，

∴∠1=∠2，

∵OB=OD，

∴∠1=∠3，

∴∠2=∠3，

∴OD∥BC，

∵∠C=90°，

∴∠ODA=90°，

则AC为圆O的切线

（2）

解：

过O作OG⊥BC，

∴四边形ODCG为矩形，

∴GC=OD=OB=10，OG=CD=8，

在Rt△OBG中，利用勾股定理得：BG=6，

∴BC=BG+GC=6+10=16，

∵OD∥BC，

∴△AOD∽△ABC，

∴ ，即 ，

解得：OA= ，

∴AB= +10= ，

连接EF，

∵BF为圆的直径，

∴∠BEF=90°，

∴∠BEF=∠C=90°，

∴EF∥AC，

∴ ，即 ，

解得：BE=12

【解析】（1）连接OD，由BD为角平分线得到一对角相等，根据OB=OD，等边对等角得到一对角相等，等量代换得到一对内错角相等，进而确定出OD与BC平行，利用两直线平行同位角相等得到∠ODA为直径，即可得证；
　　　　（2）由OD与BC平行得到三角形OAD与三角形BAC相似，由相似得比例求出OA的长，进而确定出AB的长，连接EF，过O作OG垂直于BC，利用勾股定理求出BG的长，由BG+GC求出BC的长，再由三角形BEF与三角形BAC相似，由相似得比例求出BE的长即可．此题考查了切线的判定，相似三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，以及等腰三角形的性质，熟练掌握切线的判定方法是解本题的关键．