Question

5．已知：四边形ABCD中，对角的交点为O，E是OC上的一点，过点A作AG⊥BE于点G，AG、BD交于点F．
（1）如图1，若四边形ABCD是正方形，求证：OE=OF；
（2）如图2，若四边形ABCD是菱形，∠ABC=120°，探究线段OE与OF的数量关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据正方形的对角线相等且互相垂直平分可得OA=OB，再根据同角的余角相等求出∠AFO=∠BEO，然后利用“角角边”证明△AOF和△BOE全等，根据全等三角形对应边相等证明即可；
（2）根据菱形的对角线互相垂直可得AC⊥BD，对角线平分一组对角可得∠ABO=60°，再根据等角的余角相等求出∠AFO=∠BEO，然后证明△AOF和△BOE相似，根据相似三角形对应边成比例可得 $\frac{OF}{OE}$=$\frac{AO}{OB}$，再根据锐角三角形函数的定义解答；

解答 证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，对角线的交点为O，
∴AC=BD，OA=OC，OB=OD，
∴OA=OB，
∵AC⊥BD，AG⊥BE，
∴∠FAO+∠AFO=90°，∠EAG+∠AEG=90°，
∴∠AFO=∠BEO，
在△AOF和△BOE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AFO=∠BEO}\\{∠FOA=∠EOB}\\{OA=OB}\end{array}\right.$，
∴△AOF≌△BOE（AAS），
∴OE=OF；

（2）OF=$\sqrt{3}$OE．
理由：∵四边形ABCD是菱形，对角线的交点为O，∠ABC=120°
∴AC⊥BD，∠ABO=60°，
∴∠FAO+∠AFO=90°，
∵AG⊥BE，
∴∠EAG+∠BEA=90°．
∴∠AFO=∠BEO，
又∵∠AOF=∠BOE=90°，
∴△AOF∽△BOE，
∴$\frac{OF}{OE}$=$\frac{AO}{OB}$，
∵∠ABO=60°，AC⊥BD，
∴$\frac{AO}{OB}$=tan60°=$\sqrt{3}$．
∴OF=$\sqrt{3}$OE；

点评 本题是四边形综合题型，主要利用了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的对角线互相垂直平分的性质，等腰梯形的性质，以及相似三角形的判定与性质，锐角三角形函数，综合性较强，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考常考题型．