Question

如图①，在长为6厘米，宽为3厘米的矩形PQMN中，有两张边长分别为二厘米和一厘米的正方形纸片ABCD和EFGH，且BC且在PQ上，PB=1厘米，PF=

1

2

厘米，从初始时刻开始，纸片ABCD沿PQ以2厘米每秒的速度向右平移，同时纸片EFGH沿PN以1厘米每秒的速度向上平移，当C点与Q点重合时，两张图片同时停止移动，设平移时间为t秒时，（如图②），纸片ABCD扫过的面积为S₁，纸片EFGH扫过的面积为S₂，AP，PG，GA所围成的图形面积为S（这里规定线段面积为零，扫过的面积含纸片面积）．解答下列问题：
（1）当t=

1

2

时，PG=

 

，PA=

 

时，PA

 

PG+GA（填=或≠）；
（2）求S与t之间的关系式；
（3）请探索是否存在t值（t＞

1

2

），使S₁+S₂=4S+5．若存在，求出t值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）PG=

12+12

=

2

，PA=

22+22

=2

2

，AG=

12+12

=

2

，∴PA=PG+GA．
（2）由（1）得当t=0.5时，G在AP上，那么可分G在△APB内和△APB外两种情况进行解答．
（3）按等量关系列出等式，根据t的取值范围得到所求．

解答：解：（1）当t=

1

2

时，PG=

2

，PA=2

2

，此时PA=PG+GA；（各1分）

（2）①当0≤t≤0.5时，连接GB

S_△APG=S_△APB-S_△PGB-S_△AGB
=

1

2

×2（2t+1）-

1

2

（2t+1）（t+0.5）-

1

2

×2×2t
=-t²-t+

3

4

（2分）
②当0.5＜t≤1.5时，过A作AK⊥PN于K，连接KG

S_△APG=S_△APK-S_△PGK-S_△AGK
=

1

2

×2（2t+1）-

1

2

（2t+1）（1.5-t）-

1

2

×1×2
=t²+t-

3

4

（2分）

（3）存在
S₁=2（2t+2）=4t+4，S₂=t+1（1分）
若S₁+S₂=4S+5，则
4t+4+t+1=4（t²+t-

3

4

）+5，即4t²-t-3=0（1分）
∴t₁=-

3

4

（舍去），t₂=1（1分）
即当t=1时，S₁+S₂=4S+5．

点评：本题考查运动过程中面积的变化形式．注意扫过的面积应是原来正方形的面积+扫过矩形的面积．