Question

(2007，福建省厦门市，25)已知：如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B是切点，连接OA、OB、OP，

(1)若∠AOP=60°，求∠OPB的度数；

(2)过O作OC、OD分别交AP、BP于C、D两点，

①若∠COP=∠DOP，求证：AC=BD；

②连接CD，设△PCD的周长为l，若l=2AP，判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由．

Answer 1

答案：略
解析：

(1)解：∵PA、PB是⊙O的切线，A、B是切点， ∴∠OAP=90°． ∵∠AOP=60°，∴∠OPA=30°． ∴∠OPB=∠OPA=30°． (2)①证明：∵∠COP=∠DOP，∠CPO=∠DPO，PO=PO， ∴△OCP≌△ODP． ∴CP=DP． ∵PA、PB是⊙O的切线，∴PA=PB ∴AC=BD． ②证明1：连接CD．∵l=2AP，PA=PB， ∴CD=AC＋BD． ∵OA=OB，且∠OAC=∠OBD=90°． ∴将△OAC绕点O逆时针旋转，使点A与点B重合． 记点C的对称点为，∴，． ∵∠OAC=∠OBD=90°，∴点在PB的延长线上． ∵，，OD=OD， ∴． ∴过O作OE⊥CD，E是垂足．即OE是点O到直线CD的距离， ∴． ∴OB=OE． ∴直线CD与⊙O相切． 证明2：过O作OE⊥CD，垂足为E．设OE=d，CE=x，DE=y． ∴，， ∴ ∴(AC＋x)(AC－x)－(BD＋y)(BD－y)=0 ∵l=2AP，PA=PB，∴x＋y=AC＋BD． ∴AC－x=y－BD． ∴(AC＋x)(y－BD)－(BD＋y)(BD－y)=0． ∴(y－BD)(AC＋x＋BD＋y)=0． ∵(AC＋x＋BD＋y)≠0，∴y－BD=0． ∴BD=y． ∴d=AO．∴直线CD与⊙O相切．