Question

圆O₁过梯形ABCD的两顶点A、B，并切腰CD于点N；圆O₂过点C、D并切腰AB于点M．求证：AM•MB=CN•ND．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,切线的性质

专题：证明题

分析：首先得出PM×PA=PN×PD，则A、M、N、D四点共圆，进而得出△AMN∽△NCB，△ADN∽△NMB，进而求出即可．

解答：证明：延长BA、CD交于点P，
则有：PM²=PD×PC，PA×PB=PN²（切割线定理），
∵AD∥BC，
∴

PA

PB

=

PD

PC

，
∴以上三式相乘可得：PM×PA=PN×PD，
∴A、M、N、D四点共圆，
∴∠ADC+∠NMA=180°，
又∵∠ADC+∠DCB=180°，
∴∠NMA=∠DCB，
又∵∠BNC=∠BAN（弦切角定理），
∴△AMN∽△NCB，
∴

AM

AN

=

NC

NB

①，
同理可得：△ADN∽△NMB，
∴

AN

DN

=

NB

MB

②，
①×②得：

AN

DN

×

AM

AN

=

NC

NB

×

NB

MB

∴

AM

DN

=

NC

MB

，
∴AM•MB=CN•ND．

点评：此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及四点共圆等知识，得出△AMN∽△NCB，△ADN∽△NMB是解题关键．