Question

已知：a，b，c是△ABC的三边长，c为整数，抛物线y=x²-（a+b）x+c²-8a-8与x轴相交于点M，N（点M在N的左侧），顶点为P，点（a-bsinC，m）与点（asinC-b，m）关于y轴对称．
（1）判断△ABC的形状；
（2）若抛物线与直线y=x-14相交于点P和D（6，-8），在抛物线上求作一点Q，使∠QMP=90°．

Answer 1

分析：（1）根据点（a-bsinC，m）与点（asinC-b，m）关于y轴对称，可得两点的横坐标互为相反数，由此可求得a、b的关系式，即可得出△ABC的形状．
（2）首先求出点P的坐标，再将P点坐标代入直线y=x-14中①，将D代入抛物线的解析式中②，联立①②所得式子，即可求出抛物线的解析式，进而可确定M、P的坐标；易求得直线MP的解析式，若∠QMP=90°，则直线MQ与直线MP的斜率的积为-1，不难求得直线MQ的解析式联立抛物线的解析式即可求出Q点的坐标．

解答：解：（1）∵点（a-bsinC，m）与点（asinC-b，m）关于y轴对称，
∴a-bsinC+asinC-b=（a-b）+（a-b）sinC=（a-b）（sinC+1）=0；
∵0°＜∠C＜180°，即sinC+1≠0，
∴a=b；即△ABC是等腰三角形．

（2）由（1）知：a=b，则y=x²-2ax+c²-8a-8，P（a，c²-a²-8a-8）；
∵P点在直线y=x-14的图象上，
∴a-14=c²-a²-8a-8；①
∵抛物线过D（6，-8），
∴36-12a+c²-8a-8=-8；②
联立①②，得：

a-14=c2-a2-8a-8 36-12a+c2-8a-8=-8

，
解得

a=5 c=8

（c取整数）；
∴抛物线的解析式为y=x²-10x+16，P（5，-9），M（2，0），N（8，0）；
设直线MP的解析式为y=kx+b（k≠0），则：

5k+b=-9 2k+b=0

，
解得

k=-3 b=6

；
∴直线MP的解析式为y=-3x+6；
设直线MQ的解析式为y=mx+n（m≠0），由于∠PMQ=90°，
得mk=-1，即m=

1

3

；
则y=

1

3

x+n；已知M点坐标为（2，0），则有：

2

3

+n=0，n=-

2

3

；
∴直线MQ的解析式为y=

1

3

x-

2

3

；
联立抛物线的解析式，得：

y= 1 3 x- 2 3 y=x2-10x+16

，
解得

x=2 y=0

，

x= 25 3 y= 19 9

；
∴Q点的坐标为（

25

3

，

19

9

）．

点评：此题是二次函数的综合题，涉及到三角函数、轴对称的性质、二次函数解析式的确定、函数图象交点坐标的求法等．难度较大．