Question

（2013•兰州一模）如图，抛物线m：y=-

1

4

x2+bx+c与x轴的交点为A，B，与y轴的交点为C，顶点为M，已知点A的横坐标为-2，点C的纵坐标为4，将抛物线m绕点B旋转180°，得到新的抛物线n，它的顶点为D．
（1）求点M及点B的坐标；
（2）求抛物线n的函数表达式；
（3）设抛物线n与x轴的另一个交点为E，点P是线段ED上一个动点（P不与E，D重合），过点P作y轴的垂线，垂足为F，连接EF，如果P点的坐标为（x，y），△PEF的面积为S，求S与x轴的函数关系式，写出自变量x的取值范围，试求出其最大值，若S没有最大值，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）先将A（-2，0），C（0，4）代入y=-

1

4

x2+bx+c，运用待定系数法求出抛物线m的解析式为y=-

1

4

x²+

3

2

x+4，再运用配方法求出顶点M的坐标，解方程-

1

4

x²+

3

2

x+4=0，即可得到点B的坐标；
（2）由点D、M关于点B成中心对称，求出D点的坐标，从而得到抛物线n的解析式；注意由于开口方向相反，两个抛物线的a值也相反；
（3）先运用待定系数法求出直线DE的解析式，再根据三角形的面积公式求出S与x的函数关系式，然后根据二次函数的性质及自变量的取值范围即可确定S没有最大值．

解答：解：（1）将A（-2，0），C（0，4）代入y=-

1

4

x2+bx+c，
得

-1-2b+c=0 c=4

，
解得

b= 3 2 c=4

，
∴抛物线m的解析式为y=-

1

4

x²+

3

2

x+4，
∵y=-

1

4

x²+

3

2

x+4=-

1

4

（x²-6x）+4=-

1

4

（x-3）²+

25

4

，
∴顶点M的坐标为（3，

25

4

），
解方程-

1

4

x²+

3

2

x+4=0，得x₁=-2，x₂=8，
∴点B的坐标为（8，0）．
故点M的坐标为（3，

25

4

），点B的坐标为（8，0）；

（2）∵抛物线n是由抛物线m：y=-

1

4

x²+

3

2

x+4绕点B旋转180°得到的，
∴M与D关于点B成中心对称，
∴D的坐标为（13，-

25

4

），
∴抛物线n的解析式为：y=

1

4

（x-13）²-

25

4

，即y=

1

4

x²-

13

2

x+36；

（3）∵点E与点A关于点B中心对称，A（-2，0），B（8，0），
∴E的坐标为（18，0）．
设直线ED的解析式为y=px+q，
则

18p+q=0 13p+q=- 25 4

，解得

p= 5 4 q=- 45 2

，
∴直线ED的解析式为y=

5

4

x-

45

2

．
又点P的坐标为（x，y），
∴S=

1

2

x•（-y）=-

1

2

x•（

5

4

x-

45

2

）=-

5

8

x²+

45

4

x=-

5

8

（x-9）²+

405

8

，
∵点P是线段ED上一个动点（P不与E，D重合），
∴13＜x＜18，
∴S=-

5

8

（x-9）²+

405

8

（13＜x＜18），
∵该抛物线开口向下，对称轴为x=9，函数图象位于对称轴右侧，y随着x的增大而减小，
∴S在13＜x＜18范围内没有最大值．
故S与x的函数关系式为S=-

5

8

（x-9）²+

405

8

，自变量取值范围是13＜x＜18，S没有最大值．

点评：本题综合考查了二次函数的图象与性质、运用待定系数法求函数的解析式、图形变换、极值、三角形的面积等知识点，有一定的难度．第（3）问中，考查二次函数在指定区间上的极值，这是本题的一个易错点，需要引起注意．