Question

如图点A是⊙O外的一点，OA交⊙O于点C，已知⊙O 的半径是1，OA=2；点B是⊙O上的一点，且AB=，过点B作BD∥OA，交⊙O于点B．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）求阴影部分的面积．

Answer 1

（1）证明：∵⊙O的半径是1，OA=2，AB=，
∴OB²+AB²=OA²=4，
∴∠ABO=90°，即AB⊥OB，
又∵OB是⊙O的半径，
∴AB是⊙O的切线；

（2）由（1）知，∠ABO=90°．
∵OA=2OB，
∴∠OAB=30°，
∴∠BOA=60°．
又∵BD∥OA，
∴∠OBD=∠BOA=60°．
∵OD=OB，
∴△ODB是等边三角形，
∴∠DOB=60°．
∴S_阴影=S_扇形ODB+S_△ABO-S_△AOD=+OB•AB-OD•OAsin∠AOD=+×1×-×1×2×=．即阴影部分的面积是．
分析：（1）利用勾股定理推知∠ABO=90°，即AB⊥OB，易证得结论；
（2）S_阴影=S_扇形ODB+S_△ABO-S_△AOD．
点评：本题考查了切线的判定，扇形面积的计算．此题是利用平行线的性质推知等腰△ODB是等边三角形的，另外，解题时还利用了勾股定理推知△ABO是直角三角形．