Question

如图，直线y=-x+4与两坐标轴分别相交于A、B点，点M是线段AB上任意一点（A、B两点除外），过M分别作MC⊥OA于点C，MD⊥OB于D．
（1）当点M在AB上运动时，你认为四边形OCMD的周长是否发生变化？并说明理由；
（2）设△BDM的面积为S₁，四边形OCMD的面积S₂，△MCA的面积为S₃．
①用含x的代数式表示S₁、S₂和S₃，并写出同时含S₁、S₂和S₃的等式关系；
②当点M运动到什么位置时，S₂有最大值？最大值是多少？

Answer 1

解：（1）设点M的横坐标为x，则点M的纵坐标为-x+4，
则MC=-x+4，MD=x，
C_{四边形OCMD}=2（MC+MD）=2（-x+4+x）=8，
当点M在AB上运动时，四边形OCMD的周长不发生变化，总是等于8．
（2）根据直线AB的解析式可得，点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，4），
①设点M的坐标为（x，-x+4），
则BD=OB-OD=4-（-x+4）=x，AC=OA-OC=4-x，
从而可得S₁=x×x=x²；S₂=x（4-x）=-x²+4x；S₃=（4-x）（4-x）=x²-4x+8，
等式关系为：S₁+S₂+S₃=8；
②S₂=x（4-x）=-x²+4x=-（x-2）²+4，
∵0＜x＜4，
∴当x=2时，S₂取得最大值，最大值为4．
即当点M位于（2，2）时，S₂取得最大值，最大值为4．
分析：（1）设点M的横坐标为x，则点M的纵坐标为-x+4，从而可得出矩形OCMD的周长，继而可作出判断；
（2）①先由解析式求出点B、点A的坐标，然后得出BD、AC的长度，继而根据三角形、及矩形的面积公式可用含x的代数式表示S₁、S₂和S₃，也可写出含S₁、S₂和S₃的等式关系．
②根据①所求的S₂关于x的表达式，利用配方法确定最值即可．
点评：本题考查了一次函数综合题，解答本题的关键是熟练点的坐标与线段长度之间的转化，掌握三角形及矩形的面积计算公式，总体来说本题难度不大．