Question

如图，O为∠EPF内射线PG上一点，以O为圆心，10为半径作⊙O，分别与∠EPF两边相交于A，B和C，D且AB=CD，连接OA，此时有OA∥PE．
（1）求证：AP=AO；
（2）若弦AB=12，求四边形PAOC的面积；
（3）若以图中已标明的点（即P，A，B，C，D，O）构造四边形，则能构成等腰梯形的四个点为______．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据平行线的性质求出∠1=∠2，根据平行线性质求出∠1=∠3，推出∠2=∠3即可；
（2）根据全等三角形的证明得出△PCO≌△PAO，进而求出四边形PAOC为平行四边形，四边形PAOC的面积=PA•ON得出即可；
（3）根据OA=OC=PA=PC即可推出答案；根据平行线得出梯形，根据两边线段即可得出梯形是等腰梯形．
解答：（1）证明：连接OC，过O分别作OM⊥CD于M，ON⊥AB于N，
则在⊙O中，CM=CD，AN=AB，
∵AB=CD，
∴CM=AN，
在Rt△COM和Rt△AON中，

∴Rt△COM≌Rt△AON（HL），
∴OM=ON，
∵OM⊥CD，ON⊥AB，
∴∠1=∠2，
∵OA∥PE，
∴∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∴AP=AO；
                                              
（2）解：由（1）知，Rt△COM≌Rt△AON，
∴∠OCM=∠OAN，
∴180°-∠OCM=180°-∠OAN，
∴∠PCO=∠PAO，
∵
∴△PCO≌△PAO（AAS），
∴∠3=∠4，
由（1）知，∠2=∠3，
∴∠2=∠4，
∴OC∥PA，
∵OA∥PE，
∴四边形PAOC为平行四边形，
在Rt△AON中，OA=10，AN=6，
∴ON=8，而PA=OA=10，
∴四边形PAOC的面积=PA•ON=10×8=80；
                               
（3）解：根据（1）所求可以得出：OA=OC=PA=PC；
根据平行线得出梯形，根据两边线段即可得出梯形是等腰梯形，
故能构成等腰梯形的四个点为P、C、O、B或P、A、O、D或A、B、D、C．          
故答案为：P、C、O、B或P、A、O、D或A、B、D、C．
点评：本题考查了平行线的性质，等腰梯形的性质和判定，角平分线性质，菱形的判定等知识点的应用，此题综合性比较强，题型较好，难度适中，培养了学生的观察能力和分析问题、解决问题的能力．