Question

在直角坐标系中，抛物线y=-x²+mx-n与x轴交于A、B两点．与y轴交于C点．已知A、B两点都在x轴负半轴上（A左B右），△AOC与△COB相似，且tan∠CBO=4tan∠BCO．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若此抛物线的对称轴与直线y=nx交于D．以D为圆心，作与x轴相切的圆，交y轴于M、N两点．求劣弧MN所对的弓形面积；
（3）在y轴上是否存在一点F，使得FD+FA的值最小，若存在，求出△ABF的面积，若不存在，说明理由．

Answer 1

解：（1）当x=0时，y=-n，
∴C（0，-n）．
∵tan∠CBO=，tan∠BCO=，
∴=4
∴OC=2OB
∴B（-，0）
∵△AOC∽△COB
∴OC²=OA•OB
∴A（-2n，0）
把A，B两点的坐标代入抛物线得：

解方程组得：
所以抛物线的解析式为：y=-x²-x-2；

（2）抛物线的对称轴为：x=-，
y=2x，
∴D（-，-5），
如图：连接DM，DN，过点D作DH⊥MN于H，
则：DM=5，DH=，
∴∠MDH=60°，
∴∠MDN=120°
S_弓形=S_扇形MDN-S_△MDN
=π•25-••5
=-；

（3）点D关于y轴的对称点E（，-5）
点A（-4，0），
AE的解析式为：y=-x-
∴F（0，-）
S_△ABF=AB•OF=•3•=．
分析：（1）当x=0时，得点C（0，-n），由tan∠CBO=4tan∠BCO，得点B（-，0），根据△AOC与△COB相似，得点A（-2n，0），然后把A，B两点的坐标代入抛物线，求出抛物线的解析式．
（2）抛物线的对称轴为x=-，直线y=2x，求出点D的坐标，确定圆的半径，利用垂径定理得到M，N的坐标，然后求出弓形的面积．
（3）求出点D关于y轴的对称点E的坐标，连接AE交y轴于点F，求出点F的坐标，计算出△ABF的面积．
点评：本题考查的是二次函数的综合题，（1）用待定系数法确定抛物线的解析式，（2）数形结合，确定圆的半径和扇形的圆心角，计算弓形的面积，（3）根据对称性确定点F的坐标，然后求出三角形的面积．