Question

11．如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，△ABD是等边三角形，E是AB的中点，连接CE并延长交AD于F．

（1）求证：△AEF≌△BEC；
（2）判断四边形BCFD是何特殊四边形，并说出理由；
（3）如图2，将四边形ACBD折叠，使D与C重合，HK为折痕，若BC=1，求AH的长．

Answer 1

分析 （1）先由等边三角形的性质得出∠BAD=60°借助中点和对顶角即可判断出结论．
（2）根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，和（1）中的结论得出∠AFE=∠BCE=60°，进而判断出BD∥FC，即可得出结论；
（3）先由折叠和含30°的直角三角形的性质得出AD=AB=2，再用勾股定理求出AC²，最后在Rt△ACH中，用勾股定理建立方程求出AH．

解答 解：（1）证明：在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，
∴∠ABC=60°．
在等边△ABD中，∠BAD=60°，
∴∠BAD=∠ABC=60°．
∵E为AB的中点，
∴AE=BE．
在△AEF和△BEC中$\left\{\begin{array}{l}{∠EAF=∠EBC=60°}\\{AE=BE}\\{∠AEF=∠BEC}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△BEC；
（2）四边形BCFD是平行四边形，
理由：在△ABC中，∠ACB=90°，E为AB的中点，
∴CE=$\frac{1}{2}$AB，BE=$\frac{1}{2}$AB．
∴CE=AE，
∴∠EAC=∠ECA=30°，
∴∠BCE=∠EBC=60°．
又∵△AEF≌△BEC，
∴∠AFE=∠BCE=60°．
又∵∠D=60°，
∴∠AFE=∠D=60°．
∴FC∥BD．
又∵∠BAD=∠ABC=60°，
∴AD∥BC，即FD∥BC．
∴四边形BCFD是平行四边形；
（3）解：∵∠BAD=60°，∠CAB=30°，
∴∠CAH=90°．
在Rt△ABC中，∠CAB=30°，BC=1，
∴AB=2BC=2．
∴AD=AB=2．
设AH=x，则HC=HD=AD-AH=2-x，
在Rt△ABC中，AC²=2²-1²=3，
在Rt△ACH中，AH²+AC²=HC²，即x²+3=（2-x）²，
解得x=$\frac{1}{4}$，即AH=$\frac{1}{4}$．

点评 此题是几何变换综合题，主要考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，含30°的直角三角形的性质，折叠的性质，解本题的关键判断出∠AFE=60°．