Question

如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边AD、BC的中点，点G、H在DC边上，且GH=DC，EH与FG相交于O点．
（1）求证：△EFO∽△HGO；
（2）若AB=10，BC=12，求图中阴影部分面积．

Answer 1

解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∵E、F分别是边AD、BC的中点，
∴ED∥FC，ED=FC，
∴四边形EFCD是平行四边形，
∴EF∥DC，
∴△EFO∽△HGO；

（2）过O作直线MN⊥EF于M，交CD于N，
则ON⊥DC，MN=CF=BC=6，
∵GH=DC，
∴GH=EF，
∵△EFO∽△HGO，
∴=2，
∴OM=4，ON=2，
∴S_△EOF=EF•OM=×10×4=20，S_△GOH=GH•ON=×5×2=5，
∵S_矩形EFCD=10×6=60，
∴S_阴=60-20-5=35．
分析：（1）由四边形ABCD是矩形，可得AD∥BC，AD=BC，又由E、F分别是边AD、BC的中点，可证得四边形EFCD是平行四边形，即可证得：△EFO∽△HGO；
（2）首先过O作直线MN⊥EF于M，交CD于N，则可证得△EFO∽△HGO，由相似三角形的对应边成比例，可求得OM，ON的值，继而求得△OEF与△OGH的面积，则可求得阴影部分的面积．
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质以及平行四边形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用，注意掌握辅助线的作法．