Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=Rt∠，AC=2BC=2，作内接正方形A₁B₁D₁C；在Rt△AA₁B₁中，作内接正方形A₂B₂D₂A₁；在Rt△AA₂B₂中，作内接正方形A₃B₃D₃A₂；…；依次作下去，则第1个正方形A₁B₁D₁C的边长是

 

，第n个正方形A_nB_nD_nA_n-1的边长是

 

．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,正方形的性质

专题：规律型

分析：设正方形A₁B₁D₁C的边长为x，根据正方形性质得出边相等，得出对边平行，根据相似三角形的判定得出相似三角形，得出比例式，求出正方形的边长，依次求出每个正方形的边长，根据求出的结果得出即可．

解答：解：设正方形A₁B₁D₁C的边长为x，
∵四边形A₁B₁D₁C是正方形，
∴A₁B₁∥CB，
∴△ACB∽△AA₁B₁，
∴

AC

BC

=

AA1

A1B1

=

2BC

BC

=2，

AC

AA1

=

BC

A1B1

，
∴

2

2-x

=

1

x

，
解得：x=

2

3

，
即A₁B₁=

2

3

，AA₁=2A₁B₁=

4

3

，
设正方形A₂B₂D₂C₁的边长为y，
∵四边形A₂B₂D₂C₁是正方形，
∴A₂B₂∥A₁B₁，
∴△AA₁B₁∽△AA₂B₂，
∴

AA1

AA2

=

A1B1

A2B2

，
∴

4 3

4 3 -y

=

2 3

y

，
解得：y=

4

9

=

22

32

，
即A₂B₂=

22

32

，
…，
∴第n个正方形A_nB_nD_nA_n-1的边长是

2n

3n

，
故答案为

2

3

，

2n

3n

．

点评：本题考查了相似三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是能根据求出的结果得出规律，题目比较好，有一定的难度．