Question

若AD是△ABC角平分线，I是线段AD上的点，且∠BIC=90°+∠BAC．求证：I是△ABC的内心．

Answer 1

解：作△ABC的外接圆⊙O，设AD的延长线交⊙O于M，BI的延长线交⊙O于E．
连ME、CE、CM，IC与ME交于点F．
则∠MEC=∠BAC=∠BEC，
因∠BIC=∠ICE+∠IEC，
=∠ICE+∠MEC+∠BAC，
=90°+∠BAC．
则∠ICE+∠MEC=90°，即IC⊥EF．
于是，有△IEF≌△CEF，
从而，IF=FC，即EM是IC的垂直平分线．
故MC=MI，于是，∠MCI=∠MIC．
又∠MCI=∠MAC+∠ACI，
则∠BCI=∠ACI．
即CI平分∠ACB．
因此，I是△ABC的内心．
分析：作△ABC的外接圆⊙O，设AD的延长线交⊙O于M，BI的延长线交⊙O于E．连ME、CE、CM，IC与ME交于点F．可得IC⊥EF．△IEF≌△CEF，即EM是IC的垂直平分线．则∠BCI=∠ACI．因此，I是△ABC的内心．
点评：本题考查了三角形的内切圆和全等三角形的判定和性质．