Question

如图，已知抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴交于A（1，0）、B（4，0）两点，与y轴交于C（0，2），连接AC、BC．
（1）求抛物线解析式；
（2）BC的垂直平分线交抛物线于D、E两点，求直线DE的解析式．

Answer 1

解：（1）将A、B、C三点坐标代入可得：，
解得：，
故这个抛物线的解析式为y=x²-x+2；

（2）解法一：
如图1，设BC的垂直平分线DE交BC于M，交x轴于N，连接CN，过点M作MF⊥x轴于F，
∴△BMF∽△BCO，
∴===．
∵B（4，0），C（0，2），
∴CO=2，BO=4，
∴MF=1，BF=2，
∴M（2，1），
∵MN是BC的垂直平分线，
∴CN=BN，
设ON=x，则CN=BN=4-x，
在Rt△OCN中，CN²=OC²+ON²，
∴（4-x）²=2²+x²，
解得：x=，
∴N（，0）．
设直线DE的解析式为y=kx+b，
依题意，得：，
解得：．
∴直线DE的解析式为y=2x-3．
解法二：
如图2，设BC的垂直平分线DE交BC于M，交x轴于N，连接CN，过点C作CF∥x轴交DE于F．
∵MN是BC的垂直平分线，
∴CN=BN，CM=BM．
设ON=x，则CN=BN=4-x，
在Rt△OCN中，CN²=OC²+ON²，
∴（4-x）²=2²+x²，
解得：x=，
∴N（，0）．
∴BN=4-=．
∵CF∥x轴，
∴∠CFM=∠BNM．
∵∠CMF=∠BMN，
∴△CMF≌△BMN．
∴CF=BN．
∴F（，2）．
设直线DE的解析式为y=kx+b，
依题意，得：，
解得：．
∴直线DE的解析式为y=2x-3．
分析：（1）将A（1，0）、B（4，0）、C（0，2）三点坐标代入抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）中，列方程组求a、b、c的值即可；
（2）如图1，设BC的垂直平分线DE交BC于M，交x轴于N，连接CN，过点M作MF⊥x轴于F．可得△BMF∽△BCO，根据相似三角形的性质，垂直平分线的性质和勾股定理可求直线DE上两点M、N的坐标，再根据待定系数法可求直线DE的解析式；
点评：本题考查了二次函数的综合运用，关键是由已知条件由待定系数法求函数解析式，以及相似三角形的性质，垂直平分线的性质和勾股定理的运用，综合性较强，有一定的难度．