Question

某车间有工人26名，在规定时间内要生产甲、乙、丙三种零件共60件．每个工人只能生产一种零件且甲种零件必须生产，（每个工人都工作）经测算这些不同的零件每件所需人数及获利如下表所示：

零 件 种　类	甲	乙	丙
人/件
利 润/件	200元	300元	400元

（1）求该车间有哪几种生产方案？
（2）该车间如何生产零件，获利最大？最大利润是多少元？

Answer 1

解：（1）设生产甲种零件的人数是x人，生产乙种零件的人数是y人，则生产丙种零件的人数是（26-x-y）人，
有表中数据可知，每人可生产4件甲零件或生产3件乙零件或生产2件丙零件，
则4x+3y+2（26-x-y）=60，
即2x+y=8，
y=8-2x，
x=4-y，
∵x y表示人数，且x＞0
∴y只能取0、2、4、6；
即x为4、3、2、1，
答：共有4种生产方案：
方案一、4人生产甲零件，0人生产乙零件，22人生产丙零件；
方案二、3人生产甲零件，2人生产乙零件，21人生产丙零件；
方案三、2人生产甲零件，4人生产乙零件，20人生产丙零件；
方案四、1人生产甲零件，6人生产乙零件，19人生产丙零件；

（2）设利润是W元，生产甲零件的人数是x人，则生产乙零件的人数是（8-2x）人，生产丙零件的人数是26-x-（8-2x）=（18+x）人
则W=4x•200+（8-2x）×3×300+（18+x）×400=-600x+14400，
∵-600＜0，
∴W随x的增大而减小，
即当x取最小值时W最大，
由（1）知x的最小值时1，当x=1时，W=-600×1+14400=13800（元），
答：当车间派1人生产甲零件，6人生产乙零件，19人生产丙零件时，获利最大，最大利润是13800元．
分析：（1）设生产甲种零件的人数是x人，生产乙种零件的人数是y人，则生产丙种零件的人数是（26-x-y）人，有表中数据可知，每人可生产4件甲零件或生产3件乙零件或生产2件丙零件，得出方程4x+3y+2（26-x-y）=60，求出x=4-y，根据x y表示人数，且x＞0求出y只能取0、2、4、6，即可得出四种生产方案；
（2）设利润是W元，生产甲零件的人数是x人，则生产乙零件的人数是（8-2x）人，生产丙零件的人数是26-x-（8-2x）=（18+x）人得出函数解析式W=4x•200+（8-2x）×3×300+（18+x）×400=-600x+14400，根据函数的性质得出W随x的增大而减小，当x取最小值时W最大，把x=1代入求出即可．
点评：本题考查了一次函数的应用和一元一次不等式的应用，主要考查了学生的分析问题和解决问题的能力，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目，但有一定的难度．