Question

设x₁、x₂是方程x²+x-3=0的两根，那么x₁³-4x₂²+20=________．

Answer 1

1
分析：先根据x₁、x₂是方程x²+x-3=0的两根，把x₁、x₂代入此方程可得x₁²+x₁-3=0，x₂²+x₂-3=0，即x₁²=3-x₁，x₂²=3-x₂，由根与系数的关系得，x₁+x₂=-1，x₁，•x₂=-3，再把此关系代入x₁³-4x₂²+20进行计算即可．
解答：∵x₁、x₂是方程x²+x-3=0的两根，
∴x₁²+x₁-3=0，x₂²+x₂-3=0，即x₁²=3-x₁…①，x₂²=3-x₂…②，x₁+x₂=-1…③，x₁•x₂=-3，
∴x₁³-4x₂²+20
=x₁•x₁²-4x₂²+20
=x₁•（3-x₁）-4（3-x₂）+20
=3x₁-x₁²-12+4x₂+20
=3x₁-（3-x₁）-12+4x₂+20
=4（x₁+x₂）-3-12+20
=-4-3-12+20
=1．
故答案为：1．
点评：本题考查的是一元二次方程根与系数的关系及代数式求值，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．