Question

若△ABC和△ADE均为等边三角形，M、N分别是BE、CD的中点．
（1）当△ADE绕A点旋转到如图①的位置时，求证：CD=BE，△AMN是等边三角形；
（2）如图②，当∠EAB=30°，AB=12，AD=时，求AM的长．

Answer 1

（1）证明：∵△ABC和△ADE均为等边三角形，
∴AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠EAD=60°，
∵∠BAE=∠BAC-∠EAC，∠DAC=∠EAD-∠EAC，
∴∠BAE=∠DAC，
∴△ABE≌△ACD，∴CD=BE，∠ABE=∠ACD，
∵M、N分别是BE、CD的中点，即BM=BE，CN=CD，
∴BM=CN．又AB=AC，
∴△ABM≌△ACN，
∴AM=AN，∠MAB=∠NAC，
∴∠NAM=∠NAC+∠CAM=∠MAB+∠CAM=∠CAB=60°，
∴△AMN是等边三角形．

（2）解：作EF⊥AB于点F，在Rt△AEF中，
∵∠EAB=30°，AE=AD=，
∴EF=，
∵M是BE中点，作MH⊥AB于点H，
∴MH∥EF，MH=EF=，
取AB中点P，连接MP，则MP∥AE，MP=AE，
∴∠MPH=30°，MP=，
∴在Rt△MPH中，PH=，
∴AH=AP+PH=，
在Rt△AMH中，AM==．
分析：（1）先证明△ABE≌△ACD（SAS），再证明△ABM≌△ACN（SAS），可得∠NAM=∠NAC+∠CAM=∠MAB+∠CAM=∠CAB=60°，即可证明结论；
（2）作EF⊥AB于点F，可得EF=，作MH⊥AB于点H，M是BE中点，得MH=EF=，在Rt△MPH中，利用勾股定理可求得．
点评：本题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质和勾股定理的应用，属综合性较强的题目，本题作好辅助线，构建含30°角的直角三角形是解答的关键．