Question

如图，四边形ABCD是一个边长为1cm的正方形，AC是对角线，AE平分∠DAC交BC的延长线于点E．
（1）求证：AC=EC；
（2）求△ACE的面积．

Answer 1

（1）证明：∵AE平分∠DAC，
∴∠DAE=∠EAC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BE，
∴∠DAE=∠E，
∴∠EAC=∠E，
∴AC=EC；

（2）解：∵AB=BC=1cm，
∴在Rt△ABC中，根据勾股定理得AC==，
∴EC=，
则S_△ACE=EC•AB=××1=（cm²）．
分析：（1）由AE为角平分线，得到一对角相等，再由四边形ABCD为正方形，得到AD与EB平行，利用两直线平行得到一对内错角相等，等量代换可得出∠EAC=∠E，利用等角对等边即可得证；
（2）在直角三角形ABC中，由正方形的边长AB与BC都为1cm，利用勾股定理求出AC的长，即为EC的长，而AB为EC边上的高，利用三角形的面积公式计算，即可得到三角形ACE的面积．
点评：本题考查了正方形性质，勾股定理，以及等腰三角形判定的综合运用，是涉及几何证明与计算的综合题，考查学生合情的推理能力和初步演绎推理能力的获得，以及证明过程是否步步有据．