Question

已知?ABCD的对角线交于点O，M为OD上一点，过点M的直线分别交AD、CD于P、Q两点，与BA、BC的延长线于E、F两点．
（1）如图1，若M为OD的中点，EF∥AC，求证：PE=FQ；
（2）如图2，若M为OD的中点，EF与AC不平行时，求证：PE+FQ=2PQ
（3）如图3，若BM=nDM，EF与AC不平行时，请直接写出：

PE+QF

PQ

的值为

 

．（请用含n的式子表示）

Answer 1

考点：相似形综合题

专题：

分析：（1）证明△AEP≌△DPQ≌△QCF，即可得到答案．
（2）过O点作ON∥AD交EF于N，则ON是梯形CFPA的中位线，由梯形中位线的性质定理得出AP+CF=2ON，再利用AAS证明△OMN≌△DMP，得出ON=PD，则AP+CF=2PD．然后由CF∥PD，根据平行线分线段成比例定理得出

QF

QP

=

CF

PD

，

PE

PQ

=

AP

PD

，将两个式子相加，化简整理后得出QF+PE=2PQ．
（3）若BM=nDM，则有

OM

DM

=

n-1

2

，∴

ON

PD

=

OM

DM

=

n-1

2

，结合（2）即可得到答案．

解答：解：（1）如图1，∵MP∥OA，DM=MO，
∴DP=PA．
在?ABCD中，∵AB∥CD，
∴∠EAP=∠QDP，∠AEP=∠DQP．
在△APE与△DPQ中，

∠EAP=∠QDP ∠AEP=∠DQP PA=PD

∴△APE≌△DPQ（AAS），
∴PE=PQ．
同理∴△CPQ≌△DPQ，QF=PQ，
∴PE=FQ；

（2）若EF与AC不平行，如图2，过O点作ON∥AD交EF于N，则ON是梯形CFPA的中位线，则AP+CF=2ON．
易证△OMN≌△DMP，
∴ON=PD，
∴AP+CF=2PD．
∵CF∥PD，
我们∴

QF

QP

=

CF

PD

，

∵DQ∥AE，
∴

PE

PQ

=

AP

PD

，
∴

QF

PQ

+

PE

PQ

=

CF

PD

+

AP

PD

，
即：

QF+PE

PQ

=

CF+AP

PD

=

2PD

PD

=2，
∴PE+FQ=2PQ．

（3）若BM=nDM，则有

OM

DM

=

n-1

2

，∵ON∥PD∴

ON

PD

=

OM

DM

=

n-1

2

，
由（2）知道，

QF+PE

PQ

=

CF+AP

PD

=

2ON

PD

=n-1
∴

QF

PQ

+

PE

PQ

=

CF

PD

+

AP

PD

，
∴，

QF+PE

PQ

=

CF+AP

PD

=

2ON

PD

=n-1．
故答案为n-1．

点评：本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，梯形的中位线定理，平行线分线段成比例定理，有一定难度．（2）中正确地作出辅助线，利用平行线分线段成比例定理得出比例式是解题的关键．