Question

如图，Rt△ABC的直角边BC在x轴正半轴上，斜边AC上的中线BD反向延长线交y轴负半轴于E，双曲线y=

k

x

(x＞0)的图象经过点A，若S_△BEC=8，则k=

 

．

Answer 1

分析：方法1：因为S_△BEC=8，根据k的几何意义求出k值即可；
方法2：先证明△ABC与△OBE 相似，再根据相似三角形的对应边成比例列式整理即可得到k=2S_△BEC=16．

解答：解：方法1：设OB=x，则AB=

k

x

，
过D作DH⊥x轴于H，
∵D为AC中点，
∴DH为△ABC中位线，
∴DH=

1

2

AB=

k

2x

，
∵∠EBO=∠DBC=∠DCB，
∴△ABC∽△EOB，
设BH为y，
则EO=

k

2y

，BC=2y，
∴S_△EBC=

1

2

BC•OE=

1

2

•

k

2y

•2y=

k

2

=8，
∴k=16．
方法2：∵BD是Rt△ABC斜边上的中线，
∴BD=CD=AD，
∴∠DBC=∠ACB，
又∠DBC=∠OBE，∠BOE=∠ABC=90°，
∴△ABC∽△EOB，
∴

AB

OE

=

BC

OB

，
∴AB•OB=BC•OE，
∵S_△BEC=

1

2

×BC•OE=8，
∴AB•OB=16，
∴k=xy=AB•OB=16．
故答案为：16．

点评：主要考查了用待定系数法求反比例函数的解析式和反比例函数系数k的几何意义．反比例函数系数k的几何意义为：反比例函数图象上的点的横纵坐标之积是定值k，同时|k|也是该点到两坐标轴的垂线段与两坐标轴围成的矩形面积．本题综合性强，考查知识面广，能较全面考查学生综合应用知识的能力．