Question

如图①，用量角器度量∠AOB的度数时，把量角器的圆心和角的顶点重合，零刻度线和角的一条边OA重合，角的另一条边OB落在读数为130°的刻度线上，连接AB，则∠BAO=________（度）；
如图②，在矩形ABCD中，AB=3、AD=2，点E、F分别在AB、DC上，AE=DF=2．把一块直径为2的量角器（圆心为O）放置在图形上，使其零刻度线MN与EF重合．若将量角器零刻度线上的端点N固定在点F上，再把量角器绕点F顺时针方向旋转∠α（0°＜α＜90°），此时量角器的半圆弧与EF相交于点P，设点P处量角器的读数为n°．
（Ⅰ）用含n的代数式表示∠α的大小．∠α=________；
（Ⅱ）当n=________时，线段PC与M′F平行．

Answer 1

25°        120°
分析：①根据三角形的内角和定理以及等腰三角形的性质进行求解；
②（I）连接O′P，根据圆周角定理进行求解；
（II）连接M′P，则四边形PCFM′是平行四边形．根据题意，得PC=M′F=EF=2，CF=1．在直角三角形PCF中，根据接直角三角形的知识求得∠CPF的度数，即为∠α的度数，再进一步结合（I）的结论求解．
解答：（Ⅰ）①∵∠AOB=130°，OA=OB，
∴∠BAO=∠ABO=（180°-130°）=25°；

②（I）连接O′P．
∵∠MO′P=180°-n°，
∴∠α=90°-n°；
（II）连接M′P，则四边形PCFM′是平行四边形．
根据题意，得PC=M′F=EF=2，CF=1．
在直角三角形PCF中，PC=2CF，
则∠CPF=30°，
即∠α=30°，
结合（I）的结论，得n=120°．
故答案为25°；90°-n°；120°．
点评：此题综合运用了圆周角定理、平行四边形的判定及性质、解直角三角形的知识．
注意：在直角三角形中，如果斜边是一条直角边的2倍，则这条直角边所对的角是30°．