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    14．我们把两条中线互相垂直的三角形你为中垂三角形．例如图2，AF，BE是△ABC的中线．AF⊥BE于P．像△ABC这样的三角形称为中垂三角形．
    （1）如图1，已知A、B在格点（小正方形的顶点）上，请在所给的方格图中画出一个△ABC，使△ABC为中垂三角形，且点C在格点上；
    （2）如图2，已知BP=2，tan∠FAB=$\frac{1}{2}$，求AC和BC的长；
    （3）如图3．已知△ABC的三条中线AF，BD，CE相交于点G，CE=6，BD=8，AF=10，试判断△ABC是否为中垂三角形，请证明你的结论．

    分析 （1）根据题意作出图形即可；
    （2）如图2，连接EF，根据三角形的中位线的性质得到EF=$\frac{1}{2}$AB，EF∥AB，根据相似三角形的性质得到PE=1，PF=2，根据勾股定理得到AE=$\sqrt{P{E}^{2}+P{A}^{2}}$=$\sqrt{17}$，BF=$\sqrt{P{F}^{2}+P{B}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，再根据相似三角形的性质即可得到结论；
    （3）△ABC是中垂三角形，根据已知条件得到点G是△ABC的重心，求得CG=$\frac{2}{3}$CE=4，BG=$\frac{2}{3}$BD=$\frac{16}{3}$，GF=$\frac{1}{3}$AF=$\frac{10}{3}$，延长GF到M使FM=GF，根据全等三角形的性质得到CM=BG=$\frac{16}{3}$，过C作CH⊥GM于H，根据勾股定理得到GH=$\frac{12}{5}$，CF=$\sqrt{C{H}^{2}+H{F}^{2}}$=$\frac{10}{3}$，推出GF=CF=BF，于是得到即可．

    解答 解：（1）如图所示；

    （2）如图2，连接EF，
    则EF=$\frac{1}{2}$AB，EF∥AB，
    ∵AF⊥BE，BP=2，tan∠FAB=$\frac{1}{2}$，
    ∴AP=4，
    ∵△PEF∽△PBA，
    ∴$\frac{PE}{PB}=\frac{PF}{PA}=\frac{EF}{BC}=\frac{1}{2}$，
    ∴PE=1，PF=2，
    ∵AE=$\sqrt{P{E}^{2}+P{A}^{2}}$=$\sqrt{17}$，BF=$\sqrt{P{F}^{2}+P{B}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
    ∵EF∥AB，
    ∴△CEF∽△CAB，
    ∴$\frac{CE}{CA}=\frac{CF}{CB}$=$\frac{1}{2}$，
    ∴AC=2$\sqrt{17}$，BC=4$\sqrt{2}$；

    （3）△ABC是中垂三角形，
    理由：∵△ABC的三条中线AF，BD，CE相交于点G，
    ∴点G是△ABC的重心，
    ∴CG=$\frac{2}{3}$CE=4，BG=$\frac{2}{3}$BD=$\frac{16}{3}$，GF=$\frac{1}{3}$AF=$\frac{10}{3}$，
    延长GF到M使FM=GF，
    ∴GM=$\frac{20}{3}$，
    在△CMF与△BGF中，$\left\{\begin{array}{l}{GF=FM}\\{∠CFM=∠BFG}\\{CF=BF}\end{array}\right.$，
    ∴△CMF≌△BGF，
    ∴CM=BG=$\frac{16}{3}$，
    过C作CH⊥GM于H，
    ∵CG2-GH2=CM2-MH2，
    ∴42-GH2=（$\frac{16}{3}$）2-（$\frac{20}{3}$-GH）2，
    ∴GH=$\frac{12}{5}$，
    ∴HF=$\frac{14}{15}$，CH=$\frac{16}{5}$，
    ∴CF=$\sqrt{C{H}^{2}+H{F}^{2}}$=$\frac{10}{3}$，
    ∴GF=CF=BF，
    ∴∠CGB=90°，
    ∴BD⊥CE，
    ∴△ABC是中垂三角形．

    点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，三角形的中位线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．

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