Question

如图，BD为⊙O的直径，A为的中点，A交BC于点E，过D作⊙O的切线，交BC的延长线于F，
（1）求证：DF=EF；
（2）AE=2，DE=4，求DB长．

Answer 1

解：（1）连接OA，
∵A为的中点，
∴OA⊥BC，
∴∠OAE+∠AEG=90°，
∵∠AEG=∠FED，
∴∠OAE+∠FED=90°，
∵DE为圆的切线，
∴DE⊥BD，即∠FDE+∠ADB=90°，
∵OA=OD，
∴∠OAE=∠ADB，
∴∠FED=∠FDE，
∴DF=EF；

（2）连接AB，
∵BD为圆的直径，
∴∠BAD=90°，
∴∠ABE+∠AEB=90°，
∵OA⊥BC，
∴∠OAD+∠AEB=90°，
∴∠ABE=∠OAD=∠ADO，
∵∠BAE=∠DAB，
∴△ABE∽△ADB，
∴=，即AB²=AE•AD=2×（2+4）=12，
在Rt△ABD中，根据勾股定理得：BD²=AB²+AD²=12+36=48，
则BD=4．
分析：（1）连接OA，由A为弧BC的中点，利用垂径定理的逆定理得到OA垂直于BC，得到一对角互余，再由对顶角相等等量代换得到两个角相等，由DE为圆的切线，利用切线的性质得到一对角互余，根据OA=OD，利用等边对等角得到一对角相等，等量代换得到∠FED=∠FDE，等角对等边即可得证；
（2）连接AB，利用同角的余角相等得到∠ABE=∠ADB，再由一对公共角，得到三角形ABE与三角形ADB相似，由相似得比例，求出AB的长，再利用勾股定理即可求出DB的长．
点评：此题考查了切线的性质，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．